[url=https://mategnu.de/m/2/rp2.pdf][img]https://mategnu.de/bilder/modul_2/reihenuebersicht/m2ph7_2.jpg[/img][/url][br][br][color=#FFA252][b][size=150]Leitfrage zu Phase 7.2[/size][br][/b][/color]Wie bestimme ich mit einer Stammfunktion das bestimmte Integral mit beliebigen Grenzen?

[size=150][b][color=#FFA252]HDI Teil 2 ohne Integralfunktion[/color][/b][/size] [br]Als didaktische Reduktion kann die Unterscheidung zwischen Integralfunktion und Stammfunktion wegfallen (siehe Phase 7.1). Für den HDI Teil 2 muss man deshalb anders argumentieren. [br]Das digitale Arbeitsblatt [br][img]https://mategnu.de/bilder/icons/Lernumgebung_30.jpg[/img][url=https://www.geogebra.org/m/nxxgghx3#material/jwvfkake][color=#095EBC][b]M2.III.7.2a AB HDI Teil 2 erarbeiten[/b][/color][/url][br]unterstützt die folgende Erarbeitung:[br][list][*]Das bestimmte Integral [math]\int^b_a f(x)dx[/math] beschreibt die [color=#FFA252]Gesamtänderung des Bestands[/color] im Intervall [math][a; b][/math].[/*][*]Als Bestandsfunktion zu einer Änderungsfunktion haben wir in Phase 7.1 Stammfunktionen kennengelernt: eine Stammfunktion [math]F[/math] gibt den Bestand zu jedem Zeitpunkt [math]x[/math] an.[/*][*]Der Bestand zum Zeitpunkt [math]x_0[/math] berechnet sich mit [math]F(x_0)[/math].[/*][*]Möchte man die Gesamtänderung eines Bestands bis zum Zeitpunkt [math]x_0[/math] berechnen, muss man von [math]F(x_0)[/math] noch den Anfangsbestand [math]F(0)[/math] abziehen: [math]F(x_0)-F(0)[/math].[/*][*]Möchte man die [color=#FFA252]Gesamtänderung eines Bestands[/color] von einem Zeitpunkt [math]a[/math] bis zum Zeitpunkt [math]b[/math] berechnen, muss man von [math]F(b)[/math] noch [math]F(a)[/math] abziehen: [math]F(b)-F(a)[/math].[/*][*]Alle Stammfunktionen [math]F[/math] von [math]f[/math] unterscheiden sich nur durch den Anfangsbestand, eine addierte Konstante, z.B. [math]F_1(x)=F_2(x)+K[/math].[/*][*]Zieht man zwei Funktionswerte voneinander ab, fällt diese Konstante weg.[/*][/list]Alles zusammengenommen ergibt sich also:[br][color=#FFA252]Das bestimmte Integral [math]\int^b_a f(x)dx[/math] als Gesamtänderung des Bestands einer Änderungsfunktion [math]f[/math] lässt sich auch durch die Differenz der Funktionswerte einer (beliebigen) Bestandsfunktion [math]F[/math] (Stammfunktion) [math]\int^b_a f(x)dx=F(b)-F(a)[/math] berechnen.[/color][br][br][url=https://juergen-roth.de/vortraege_material/2025/MaTeGnu_K1_M2_Integralrechnung.pdf#page=35][img]https://mategnu.de/bilder/modul_2/folien/hdi_2_klein.jpg[/img][/url] [url=https://mategnu.de/bilder/modul_2/folien/hdi_2.jpg][img]https://mategnu.de/bilder/icons/Lupe_30.jpg[/img][/url]

[size=150][b][color=#FFA252]*HDI Teil 2 mit Integralfunktion[/color][/b][/size] [br]Falls in Phase 7.1 Integralfunktionen eingeführt wurden und damit Teil 1 des HDI präzisiert wurde, lässt sich der zweite Teil des HDI leicht mit den SuS übertragen:[br][list][*]Das bestimmte Integral [math]\int^b_a f(x)dx[/math] kann man mit der Integralfunktion [math]I_a[/math] leicht berechnen als Funktionswert an der Stelle b: [math]\int^b_a f(x)dx=I_a(b)[/math].[/*][*]Das bestimmte Integral mit beliebigen Grenzen [math]\int^c_b f(x)dx[/math] kann man mit der Integralfunktion [math]I_a[/math] ebenfalls leicht berechnen als Differenz der Funktionswerte an den Stellen c und b: [br][math]\int^c_b f(x)dx=I_a(c)-I_a(b)[/math]. Mit dem Applet [url=https://www.geogebra.org/m/nxxgghx3#material/gxazkyff][color=#095EBC]*M2.III.7.1a) App Integralfunktion[/color][/url] aus der vorherigen Phase kann dieser Schritt visuell unterstützt werden.[/*][*]Nach Teil 1 HDI ist jede Integralfunktion [math]I_a=\int^x_a f(t)dt[/math] eine Stammfunktion von [math]f[/math]. [/*][*]Alle Stammfunktionen [math]F[/math] von [math]f[/math] unterscheiden sich nur durch eine addierte Konstante, z.B. [math]I_a(x)=F(x)+K[/math].[/*][*]Setzt man diesen Zusammenhang nun in die Differenz der Funktionswerte der Integralfunktion ein, erkennt man, dass die addierte Konstante wegfällt: [math]\int^c_b f(x)dx=I_a(c)-I_a(b)=(F(c)+K)-(F(b)+K)[/math]. [/*][/list][br][color=#FFA252]Das bestimmte Integral lässt sich also als Differenz der Funktionswerte jeder beliebigen Stammfunktion berechnen: [math]\int^b_a f(x)dx=F(b)-F(a)[/math].[/color]

[color=#FFA252][b][size=150]GeoGebra als Werkzeug[/size][/b][/color][br]An dieser Stelle im Unterrichtsverlauf sollte spätestens der GeoGebra-Befehl [code]Integral()[/code] eingeführt werden. [br][img]https://mategnu.de/bilder/icons/Werkzeug_30.jpg[/img][color=#095EBC][url=https://mategnu.de/m/2/GGB_Befehle_m2.pdf]GeoGebra-Befehlsliste Modul 2[/url][/color] [br][br]Der Befehl kann von den SuS eigenständig erkundet werden, indem die sie den Begriff [code]Integral[/code] in das Eingabefeld des Grafikrechners eintippen und verschiedene Optionen ausprobieren. Die Erkundung des Befehls kann auch durch das digitale Arbeitsblatt[br][img]https://mategnu.de/bilder/icons/Lernumgebung_30.jpg[/img][b][url=https://www.geogebra.org/m/etcj39sg#material/jwvfkake][color=#095EBC]*M2.III.7.2b AB Den Befehl Integral erforschen[/color][/url] [/b][br]unterstützt werden.

[color=#FFA252][b][size=150]Zeitbedarf[/size][br][/b][/color]2h (+ Zeit für Übungen)

[color=#FFA252][b][size=150]Übungsaufgaben[/size][br][/b][/color]Fundamente, RLP, LK (2023, Band 1): S. 198-201[br]Fundamente, RLP, GK (2023, Band 1): S. 181-184[br]Elemente der Mathematik, RLP, LK (2017): S. 212[br]bettermarks: "Stammfunktionen und Integrale", Kap. 3, Serie 3.1 (Bestimmtes Integral berechnen)[br]Lambacher Schweizer, RLP, LK (2022): S.167 Nr. 3