Um sich ein Bild einer ganzrationalen Funktion machen zu können, betrachtet man das Globalverhalten. Darunter versteht man die Beantwortung der beiden folgenden Fragen:[list][*]Woher kommt die Funktion (von links unten oder von links oben)?[/*][*]Wohin verläuft die Funktion (nach rechts unten oder rechts oben)?[br][/*][/list]Zusätzlich kann man noch den qualitativen Graphenverlauf untersuchen und sich so Gemeinsamkeiten und Unterschiede der Graphen erarbeiten.[br][br]_________________________________________________________________________________________________________________________
[u][b]Globalverhalten und qualitativer Verlauf ganzrationaler Funktionen zweiten Grades[/b][/u][br][br]Nachfolgend ist der Graph einer ganzrationalen Funktion zweiten Grades[b][i] [math]f\left(x\right)=ax^2+bx+c[/math][/i][/b] in seiner Grundform [math]f\left(x\right)=x^2[/math] dargestellt.[br][br]Die Koeffizienten können mit Hilfe der Schieberegler verändert werden, um so unterschiedliche Graphen ganzrationaler Funktionen zweiten Grades zu untersuchen. [br][br][list][*]Finden Sie eine [u]allgemeine Gesetzmäßigkeit[/u] für das Globalverhalten, d.h. finden Sie die passende Ergänzung für die folgenden vier Sätze:[/*][/list] [br] [i] Der Graph der Funktion verläuft von links unten nach rechts unten, wenn...[br][br] Der Graph der Funktion verläuft von links nach rechts oben, wenn...[/i][i] [i][br] [br] Der Graph der[/i] Funktion verläuft von links oben nach rechts unten, wenn...[br] [br] Der Graph der Funktion verläuft von links oben nach rechts oben, wenn...[br] [br] [/i](Beachten Sie, dass u.U. nicht alle Fälle vorkommen.)[br][br][list][*][i][/i]Untersuchen Sie den qualitativen Verlauf der Graphen und beschreiben Sie Gemeinsamkeiten und Unterschiede.[/*][/list]
[u][b]Globalverhalten und qualitativer Verlauf ganzrationaler Funktionen dritten, vierten und fünften Grades[/b][/u][br][br]Die Betrachtung des Globalverhaltens ist auch für ganzrationale Funktionen höheren Grades möglich. Exemplarisch werden im Folgenden ganzrationale Funktionen bis zum Grad 5 dargestellt, um anschließend eine allgemeingültige Regel zu formulieren.[br][br]Die folgenden Applets zeigen nacheinander jeweils die Graphen eine ganzrationalen Funktion vom Grad 3, 4 und 5 jeweils in der Grundform [math]f\left(x\right)=x^3[/math] (bzw. [math]f\left(x\right)=x^4[/math], [math]f\left(x\right)=x^5[/math]) [br][br]Die Koeffizienten können mit Hilfe der Schieberegler verändert werden, um so unterschiedliche Graphen ganzrationaler Funktionen n-ten Grades zu untersuchen. [br][br][list][*]Finden Sie eine [u]allgemeine Gesetzmäßigkeit[/u] für das Globalverhalten, d.h. finden Sie die passende Ergänzung für die folgenden vier Sätze:[/*][/list] [br][i] Der Graph der Funktion verläuft von links unten nach rechts unten, wenn...[br] [br] Der Graph der Funktion verläuft von links nach rechts oben, wenn...[/i][i] [i][br] [br] Der Graph der[/i] Funktion verläuft von links oben nach rechts unten, wenn...[br] [br] Der Graph der Funktion verläuft von links oben nach rechts oben, wenn...[br] [br] [/i](Beachten Sie, dass u.U. nicht alle Fälle vorkommen.)[br][list][*][i][/i]Untersuchen Sie den qualitativen Verlauf der Graphen und beschreiben Sie Gemeinsamkeiten und Unterschiede.[/*][/list]
[color=#ff0000][color=#000000][u][b]Globalverhalten und qualitativer Verlauf einer Funktion vom Grad n[/b][/u][br][br]Formulieren Sie abschließend eine allgemeine Aussage zum Globalverhalten ganzrationaler Funktionen, indem Sie folgende Sätze vervollständigen:[br][br][list][*][i]Der Graph einer ganzrationalen Funktion vom Grad n verläuft [b]von links unten nach rechts unten[/b], wenn... [/i][/*][/list][i][br][/i][/color][/color][color=#ff0000][color=#000000][list][*][i][color=#ff0000][color=#000000]Der Graph einer ganzrationalen Funktion vom Grad n verläuft[/color][/color] [b]von links unten nach rechts oben[/b], wenn...[/i][/*][/list][i][br][/i][/color][/color][color=#ff0000][color=#000000][list][*][i][color=#ff0000][color=#000000]Der Graph einer ganzrationalen Funktion vom Grad n verläuft [b]v[/b][/color][/color][b]on links oben nach rechts unten[/b], wenn...[/i][/*][/list][i][br][/i][/color][/color][color=#ff0000][color=#000000][list][*][i][color=#ff0000][color=#000000]Der Graph einer ganzrationalen Funktion vom Grad n verläuft [/color][/color][b]von links oben nach rechts oben[/b], wenn...[/i][/*][/list][/color][/color][br][color=#ff0000][color=#000000]Formulieren Sie abschließend eine allgemeine Aussage zum qualitativen Verlauf ganzrationaler Funktionen, indem Sie folgende Sätze vervollständigen:[br][br][/color][/color][list][*][i]Der Graph einer ganzrationalen Funktion mit geradem Grad besitzt qualitativ folgendes Aussehen:[/i][/*][/list][list][*][i]Der Graph einer ganzrationalen Funktion mit ungeradem Grad verläuft qualitativ folgendes Aussehen:[/i][br][/*][/list]