Im Inneren der Möbiusquadrik liegt der Punkt [math]P_e[/math], die polare Ebene [math]E[/math] (gelb) ist ein Modell der elliptischen Ebene. Der Schieberegler [math]\lambda[/math] erlaubt es, den Abstand von [math]P_e[/math] zur Möbiusquadrik zu ändern: je geringer der Abstand von [math]P_e[/math] zur Kugeloberfläche ist, desto näher liegt [math]E[/math] bei der Kugel. Rückt [math]P_e[/math] in den Kugelmittelpunkt, so wird [math]E[/math] zur Fernebene. [br]Im Geradenraum gehört hierzu eine Zerlegung [math]\large\mathcal{[br]G}= \large\mathcal{ K}\oplus_{\mathbb{R}} i\cdot\large\mathcal{ K}[/math]. Die Geraden aus [math] i\cdot\large\mathcal{ K}[/math] gehen durch [math]P_e[/math], wir identifizieren sie bzw. ihre Schnittpunkte mit [math]E[/math] als die "Punkte" der elliptischen Ebene. Die Geraden aus [math] \large\mathcal{ K}[/math] liegen in E und sind die "Geraden" der elliptischen Ebene. [br]Die Punkte [math]A[/math] und [math]B[/math] auf [math]E[/math] und ihre Verbindungsgerade [math]d=[A,B][/math] können bewegt werden. Polar zur Ebene [math]E_d[/math] durch [math]d[/math] und [math]P_e[/math] liegt [math]D=i\cdot d[/math]. Polar zur Ebene [math]E_c[/math] durch [math]c[/math] und [math]P_e[/math] liegt [math]C=i\cdot c[/math]. [math]ACD[/math] bilden ein Polardreieck, die Abstände der Punkte voneinander sowie die Winkel zwischen den Geraden [math]a,c,d[/math] betragen [math]\frac{\pi}{2}[/math]. [br]Der Abstand [math]|A,B|[/math] ist identisch mit dem Winkel [math]\varphi[/math] zwischen den polaren Geraden [math]a=i\cdot A[/math] und [math]b=i\cdot B[/math].[br][br]Berechnet wird der "elliptische Abstand" bzw. "Winkel" für zwei Geradenvektoren [math]\mathbf\vec{g}_1,\,\mathbf\vec{g}_2[/math] aus [math] \large\mathcal{ K}[/math] bzw. aus [math] i\cdot\large\mathcal{ K}[/math] durch [math]\varphi =\left| i*\mathbf{ln}\left( \frac{\mathbf\vec{g}_1\bullet\mathbf\vec{g}_2-\sqrt{-\Delta\left(\mathbf\vec{g}_1,\,\mathbf\vec{g}_2\right)}} {\mathbf\vec{g}_1\bullet\mathbf\vec{g}_2+\sqrt{-\Delta\left(\mathbf\vec{g}_1,\,\mathbf\vec{g}_2\right)}}\right)\right|\mbox{ mit der Diskriminante }\Delta\left(\mathbf\vec{g}_1,\,\mathbf\vec{g}_2\right)={\mathbf\vec{g}_1}^2\cdot {\mathbf\vec{g}_2}^2-\left(\mathbf\vec{g}_1\bullet\mathbf\vec{g}_2\right)^2[/math], welche im elliptischen Falle stets positiv ist. Siehe auch [b]4.9[/b].[br][br][size=50]Diese Seite ist Teil des GeoGebra-Books [url=https://www.geogebra.org/m/kCxvMbHb]Moebiusebene[/url].[/size]