Oletko koskaan tullut ajatelleeksi, että ihmisruumiin fyysisessä [br]voimankäytössä luut ovat yhtä suuressa asemassa lihasten kanssa. [br]Tarkastellaan tässä tehtävässä ihmisen yläraajan, arkisemmin sanottuna [br]käden, liikettä.[br][br]Yläraajojen (samoin kuin muunkin ihmiskehon) tekemiä liikkeitä voidaan [br]selittää kahden tunnetun fysikaalisen periaatteen -- liikemäärän [br]säilymislain ja pyörimismäärän säilymislain -- avulla. Tarkastellaan nyt[br] tilannetta, jossa koko keho on paikallaan; mikään ei siis liiku. Tämän [br]tilanteen tarkastelu on paljon helpompaa kuin liikkuvan tilanteen. Näin [br]voimme tarkastella lihaksisa ja luissa vaikuttavia voimia suhteellisen [br]helpolla geometrialla.[br][br]Liikemäärän säilymislaki sanoo, että kappale on kiihtyvässä liikkeessä, [br]elleivät kaikki voimat (voimavektorit) ole tasapainossa. Tiedämme siis, [br]että kun laskemme kaikki tilanteessa vaikuttavat voimavektorit yhteen, [br]summaksi on saatava nolla. [br][br]Vastaavasti pyörimismäärän säilymislaki sanoo, että kappale on [br]kiihtyvässä pyörimisliikkeessä, elleivät kaikki yhteen lasketut [br]vääntömomentit anna nollaa. Muistatko mikä on vääntömomentti? Sehän [br]määritellään ``voima kertaa vipuvarsi''. [br][br]Katso nyt kahta alla näkyvää kuvaa. ylempi kuva antaa yleiskatsauksen [br]siitä, mitä tilannetta tarkastellaan, ja alempi kuva pukee [br]tarkasteltavan tapauksen matemaattisiksi käsitteiksi, joita voimme siten[br] käsitellä matematiikasta tutuilla tavoilla. Huomaathan, että alempi [br]kuva on interaktiivinen; voimavektorit ovat ehkä selkeämmin nähtävillä [br]ilman piirrettyä kuvaa, toisaalta piirretty kuva auttaa hahmottamaan, [br]mistä on kyse. Voit muuttaa piirretyn kuvan näkyvyyttä kuvassa näkyvällä[br] toiminnolla (valintaboksi). [br]

Tietoja, mittoja:[br][br]Kyynärvarren massa: [math]\Large m_v = 1.5 [/math] kg[br]Kahvakuulan massa: [math]\Large m_v = 10 [/math] kg[br]Janan DF pituus: 4 cm[br]Janan DH pituus: 18 cm[br]Janan DE pituus: 36 cm[br][br]Pyörimismäärän yhtälöiden puolesta voimme tarkastella kyynärvarren massan vaikutusta niin, että oletamme koko kyynärvarren massan olevan pisteessä H (pisteessä H on kyynärvarren painopiste). Oletetaan, että olkaluun ja värttinäluun välinen kulma, siis kulma CDE, on 90 astetta. Piste F on piste, johon hauislihas kiinnittyy. Kysymys kuuluu, minkä suuruisen voiman hauislihas tuottaa kuvan tilanteessa? Minkä suuruisia voimia kohdistuu yläraajan luihin, erityisesti olkaluuhun? Vinkki: kannattaa valita pisteeksi, jonka suhteen vääntömomenttiyhtälöt kirjoitetaan, piste D.

[br]HAUIS, Ratkaisu.[br][br]Hauislihaksen päällä näkyvä paksulla merkitty voimavektori osoittaa selvästikin hieman viistoon, joten jaamme tämän voiman komponentteihinsa. Tehtävä on onneksi siitä helppo, että voimme ajatella olkaluuta [i]y[/i]-akselina, ja värttinäluuta [i]x[/i]-akselina. Jos käsivarren kulma olisi ollut jokin muu kuin 90 astetta, tilanne olisi ollut jonkinverran monimutkaisempi. Merkitään hauislihaksen tuottamaa voimaa [i]F[/i]. Vastaavasti merkitsemme tämän voiman pystysuuntaista komponenttia [math]\Large F_y[/math], ja vaakasuuntaista komponenttia [math]\Large F_x[/math]. Tutkitaan ensin pyörimisliikemäärän yhtälöä. Valitaan tarkastelupisteeksi se, joka vinkiksi annettiin. Vääntömomenttien täytyy nyt siis olla samat myötäpäivään ja vastapäivään, jolloin ne kumoavat toisensa, ja ne antavat yhteensä nollan.[br][br]Kirjoitetaan vipuvarsien pituudet. Pituudet kannattaa aina kirjoittaa perusyksiköissään eli metreissä.[br][br]Etäisyys jolla kyynärvarren paino vaikuttaa: [math]\Large r_v[/math] = 0.18 (v niinkuin varsi)[br]Etäisyys jolla kahvakuulan paino vaikuttaa: [math]\Large r_k[/math] = 0.36 (k niinkuin varsi)[br]Etäisyys jolla hauislihaksen voima vaikuttaa: [math]\Large r_l[/math] = 0.04 (l niinkuin varsi)[br][br]Muut laskussa tarvittavat tiedot (kyynärvarren massa, kahvakuulan massa, maan putoamiskiihtyvyys).[br][math]\Large m_v[/math] = 1.5 kg[br][math]\Large m_k[/math] = 10 kg[br][math]\Large g = 9.81 \frac{m}{s^2} [/math][br][br]Kirjoitetaan yhtälö, jonka ratkaisuna saadaan Fy.[br][br]Vääntömomentti myötäpäivään = Vääntömomentti vastapäivään[br][br][math]\Large[br]m_v \cdot r_v \cdot g + m_k \cdot r_k \cdot g = F_y \cdot r_l[br][/math][br][br][math]\Large[br]F_y = \frac { m_v \cdot r_v \cdot g + m_k \cdot r_k \cdot g }{ r_l } = \frac { 1.5 \cdot 0.18 \cdot 9.81 + 10 \cdot 0.36 \cdot 9.81 }{ 0.04 } = 949.12[br][/math][br][br][br]Nyt tiedämme, minkä suuruinen on [math]\Large F_y[/math]. Laskussa jätettiin yksiköt pois, koska muuten lasku menee varsin sotkuisen näköiseksi. Saatu arvo on siis haiuslihaksen tuottaman voiman y-komponentti. Lasketaan nyt koko F:n arvo.[br][br][math]\Large[br]\sin(\alpha) = \frac{F_y}{F}[br][/math][br][br][math]\Large[br]F = \frac{ F_y }{ \sin(\alpha) } = \frac{ 949.12 }{ \sin(84.73) } = \frac{ 949.12 }{ 0.99577 } = 953.15[br][/math][br][br]Nyt tunnemme hauislihaksen tuottaman voiman suuruuden. Lasketaan vielä luihin vaikuttavat voimat. Lasketaan vaakasuuntainen voima ensin, koska se on helpompi laskea.[br] [br][br]Lasketaan vielä luihin kohdistuvat voimat. Tehtävässä ei muita pystysuuntaisia voimia olekaan, kuin hauislihaksen tuottama pystysuuntainen voima, ja tämän voiman vastavoima, jonka tuottaa olkaluu. Olkaluuhun kohdistuu siis 949.12 Newtonin suuruinen puristus. Tämä vastaa melkein sadan kilon painoa! (Tarkalleen ottaen 96.75 kilogramman painoa).[br]<\BS>[br][br]Tehtävässä ei muita vaakasuuntaisia voimia kuin hauislihaksen tuottaman voiman x-komponentti, ja sen vastavoima, jonka tuottaa värttinäluu.[br][br][math]\Large[br]\cos(\alpha) = \frac{F_x}{F}[br][/math][br][br][math]\Large[br]F_x = F \cdot \cos(\alpha) = 953.15 \cdot \cos(84.73) = 87.546[br][/math][br][br]Lasketaan vielä olkaluuhun kohdistuva voima. Pystysuoria voimia tässä tapauksessa on neljä: olkaluun tuottama tukivoima, hauislihaksen tuottaman voiman pystysuora komponentti, ja kahvakuulan ja kyynärvarren painot. Näiden voimien tasapainoyhtälöstä saamme olkaluuhun kohdistuvan voiman. Merkitään tätä voimaa [math]\Large F_{ol} [/math].[br][br][math]\Large[br] F_{ol} = F_y - m_v \cdot g - m_k \cdot g = 949.12 - 1.5 \cdot 9.81 - 10 \cdot 9.81 = 836.3[br][/math][br][br]Olkaluuhun kohdistuu siis 836.3 Newtonin suuruinen puristus. Tämä vastaa noin 85 kilogramman painoa! Luihin kohdistuu siis yllättävän suuria voimia, vaikka nostettavat kappaleet eivät olisi kovinkaan painavia. Nostettaessa 10 kilogramman painoista kappaletta luuhun kohdistuva voima vastaa 85 kilogramman painoa.[br][br][br][br]