А так ли это на самом деле? [br][br]Для доказательства теоремы Пифагора рассмотрим прямоугольный треугольник [i]ABC[/i] с прямым углом [i]C[/i], катетами [i]а[/i], [i]b[/i] и гипотенузой [i]с[/i][br][br]Достроим треугольник до квадрата со стороной [i]a[/i] + [i]b[/i][br][i]S[/i](большого квадрата) = ([i]a[/i] + [i]b[/i])2[br][i]S[/i](большого квадрата) = 4 ∙ [i]S[/i]ABC + [i]c[/i]2[br][i]S[/i](большого квадрата) = 4 ∙ 1/2 [i]ab[/i] + [i]c[/i]2[br]([i]a[/i] + [i]b[/i])2 = 4 ∙ 1/2 [i]ab[/i] + [i]c[/i]2[br][i]a[/i]2 + 2[i]ab[/i] + [i]b[/i]2 = 2[i]ab[/i] + [i]c[/i]2, [i]c[/i]2 = [i]a[/i]2 + [i]b[/i]2[br][br]Для теоремы Пифагора обратное утверждение также верно: если квадрат одной из сторон треугольника равен сумме квадратов двух других сторон, то треугольник прямоугольный.[br]Для доказательства рассмотрим треугольник [i]А[/i]1[i]В[/i]1[i]С[/i]1, такой, что угол [i]С[/i]1 прямой, стороны [i]A[/i]1[i]C[/i]1 = [i]АС[/i], [i]B[/i]1[i]C[/i]1 = [i]ВС[/i].[br]По теореме Пифагора [i]A[/i]1[i]B[/i]12 = [i]A[/i]1[i]C[/i]12 + [i]B[/i]1[i]C[/i]12[br]Из равенства сторон следует [i]A[/i]1[i]B[/i]12 = [i]A[/i]1[i]C[/i]12 + [i]B[/i]1[i]C[/i]12 = [i]AC[/i]2 + [i]BC[/i]2 = [i]AB[/i]2, поэтому[br][i]A[/i]1[i]B[/i]12 = [i]AB[/i]2[br][i]A[/i]1[i]B[/i]1 = [i]AB[/i][br][br]Таким образом треугольники [i]ABC[/i] и [i]А[/i]1[i]B[/i]1[i]C[/i]1 равны по трем сторонам, т.к. угол [i]С[/i]1 – прямой, то угол [i]С[/i] также прямой. Треугольник [i]ABC[/i] – прямоугольный.[br]Прямоугольные треугольники, длины сторон которых выражаются целыми числами, называют пифагоровыми треугольниками.