Bepaal een functie van de vorm [math]\text{f(x) = -ax² + b}[/math].[br][list=1][*]Wij berekenen de oppervlakte begrensd door de grafiek van f en de x-as door een integraal.[br]Integralen kende Archimedes nog niet, maar hij had zo zijn eigen methodes.[br]Hij vult de kromme op met driehoekjes [i]'zodat het verschil tussen de driehoekjes en de oppervlakte kleiner wordt dan een zandkorrel'[/i].[/*][*]Hij vormt een eerste driehoek ABC, waarbij A en B het paraboolsegment bepalen en C de top van de parabool is. [br]Merk op: de verhouding van de oppervlaktes van paraboolsegment en driehoek is [math]\frac{4}{3}[/math].[/*][*]Omdat de driehoek half zo groot is als de omgeschreven rechthoek geldt uiteraard ook dat de verhouding van de rechthoek tot het paraboolsegment gelijk is aan [math]\frac{3}{2}[/math].[br]Archimedes bewijst zelfs dat dit steeds het geval is. Op zichzelf volstaat dit om het paraboolsegment te berekenen, maar Archimedes gaat ook zonder dit bewijs het resultaat berekenen.[/*][*]Archimedes benadert nu de oppervlakte van het paraboolsegment door bijkomende driehoekjes te tekenen op de zijden van driehoek ABC. Maar, dat kan beter![/*][*]Op de bovenste vier zijden van de driehoekjes tekent hij weer kleinere driehoekjes.[br]Voor [math]f\left(x\right)=.25x^2+2[/math] is oppervlakteverschil tussen het paraboolsegment en de (intussen) 7 driehoekjes nu nog maar 2%.[br]Hiermee is het voor Archimedes duidelijk dat hij kan blijven doorgaan tot het verschil '[i]kleiner wordt dan een zandkorrel[/i]'.[/*][/list]