regelmatige veelhoeken tekenen

chris cambré, Saskia van de Griendt, Feb 16, 2019

Hoe teken je een regelmatige veelhoek met enkel passer en lineaal? Kan je op deze maniet om het even welke regelmatige n-hoek construeren? We volgen Euclides en Gauss door een GeoGebra bril.

Table of Contents

  1. Euclides
    1. gelijkzijdige driehoek
    2. vierkant
    3. regelmatige vijfhoek
    4. regelmatige zeshoek
    5. regelmatige vijftienhoek
  2. Carl Friedrich Gauss
    1. een 17-hoek tekenen
    2. constructie van een regelmatige 17-hoek
  3. 17 was geen toeval
    1. hoekpunten van een gelijkzijdige driehoek
    2. construeren van vierkantswortels
    3. hoek van een gelijkzijdige vijfhoek
    4. hoekpunten van een regelmatige zevenhoek
    5. Fermat priemgetallen als voorwaarde...
    6. hoekpunten van een 17-hoek

1.

Euclides

De meetkunde van Euclides is de wereld van passer en lineaal. IN zijn meesterwerk 'De Elementen' illustreert hij hoe je op die manier regelmatige veelhoeken kunt construeren met 3, 4, 5, 6 en 15 zijden. En daarmee leek het verhaal geschreven.

  • 1. gelijkzijdige driehoek
  • 2. vierkant
  • 3. regelmatige vijfhoek
  • 4. regelmatige zeshoek
  • 5. regelmatige vijftienhoek

1.1.

gelijkzijdige driehoek

Gelijkzijdige driehoek vanuit een gegeven lijnstuk
Een regelmatige driehoek noemen we doorgaans een gelijkzijdige driehoek. Het is niet moeilijk om enkel met passer en lineaal een gelijkzijdige driehoek te construeren. Je kunt hierbij vertrekken van een gegeven lijnstuk als eerste zijde van de driehoek.
Ingeschreven binnen een cirkel
Regelmatige veelhoeken kan je inschrijven in een cirkel. Je vertrekt hierbij niet van een gegeven lijnstuk maar van een cirkel met gegeven middelpunt O.
Probeer het zelf...
Maak nu zelf een van beide constructies met de hulp van de knoppen op de knoppenbalk.
– chris cambré

1.2.

–

1.3.

–

1.4.

–

1.5.

–

2.

Carl Friedrich Gauss

Wonderkind Carl Friedrich Gauss (1777-1855) kende de Euclidische meetkunde, maar kende ook de overeenkomsten tussen regelmatige veelhoeken en het oplossen van vergelijkingen. En zo kon hij het lijstje van construeerbare regelmatige veelhoeken aanvullen.

  • 1. een 17-hoek tekenen
  • 2. constructie van een regelmatige 17-hoek

2.1.

een 17-hoek tekenen

een goeie inval
Voor Gauss stond het vast dat je een 17-hoek moest kunnen tekenen met enkel passer en lineaal. Maar hoe doe je dat? Anders geformuleerd: [b]"Hoe lang is de zijde van een regelmatige 17-hoek, ingeschreven in een eenheidscirkel?"[/b] [br]In zijn dag boek noteert Gauss dat hij op 30 maart 1796, hij was toen 19 jaar, 's morgens wakker werd [br]met de oplossing van het probleem: Vertrek van [b]360° = 17 [math]\Phi[/math][/b].[br][i]"Indien ik vanuit deze vergelijking de waarde van cos [/i][math]\Phi[/math][i] kan uitdrukken als een vierkantswortel, dan kan ik de constructie maken, want elke vierkantswortel is construeerbaar. cos [/i][math]\Phi[/math][i] stelt dan de coördinaat voor van een punt op de eenheidscirkel en daarmee is het probleem opgelost."[/i] Gauss slaagt er (uiteraard) ook in om deze afleiding te maken en daarmee was ook dat probleem opgelost. De constructie zelf maken was voor hem overbodig.
– chris cambré

2.2.

–

3.

17 was geen toeval

Gauss toonde aan dat je met enkel een passer en een lineaal een regelmatige zeventienhoek kunt tekenen. Een leek denkt dan "Hoe komt hij er bij?" Maar het getal 17 was geen toeval.

  • 1. hoekpunten van een gelijkzijdige driehoek
  • 2. construeren van vierkantswortels
  • 3. hoek van een gelijkzijdige vijfhoek
  • 4. hoekpunten van een regelmatige zevenhoek
  • 5. Fermat priemgetallen als voorwaarde...
  • 6. hoekpunten van een 17-hoek

3.1.

hoekpunten van een gelijkzijdige driehoek

regelmatige veelhoeken en complexe getallen
In de geschiedenis van de wiskunde bogen vele wiskundigen zich over het probleem "welke algebraïsche vergelijkingen kan je oplossen?" In de tijd van Gauss kreeg men al een aardig zicht op algebraïsche vergelijkingen en de aard van hun oplossingen. In meerdere oplossingsstrategieën was reeds een verband gelegd tussen de oplossing van vergelijkingen en de coördinaten van de hoekpunten van regelmatige veelhoeken. [br]Door zijn kennis van de wiskunde en zijn briljant wiskundig inzicht kon Gauss de vraag "welke regelmatige veelhoeken kan je construeren met enkel een passer en lineaal" benaderen vanuit een heel nieuwe kijk op het probleem.
De oplossingen van de vergelijking x²+x+1=0 kan je voorstellen als punten in het complexe vlak. [br]We weten ook dat je de oplossingen van een tweedegraadsvergelijking steeds kunt uitdrukken met vierkantswortels. En wat meetkundig bijzonder interessant is, is dat je een willekeurige vierkantswortel steeds kunt construeren met passer en lineaal. M.a.w. Je kunt analytisch aantonen dat je een gelijkzijdige driehoek kunt construeren met passer en lineaal.
– chris cambré

3.2.

–

3.3.

–

3.4.

–

3.5.

–

3.6.

–

Information