Eine Einführung in die Differentialrechnung
Informationen: Diese [i]digitale Lernumgebung[/i] dient als Einführung in die Differentialrechnung. Sie orientiert sich dabei am österreichischen Lehrplan für AHS. Diese Umgebung ist im Rahmen der Bachelorarbeit bei GeoGebra (www.geogebra.org) in Linz entstanden. Das GeoGebra Buch ist zum Durcharbeiten des Kompetenzmodul 5 ("Grundbegriffe der Differentialrechnung") des AHS-Lehrplans gedacht (7. Klasse, 1. Semester). [i]Links[/i] zu Lehrplänen und Kompetenzen: - Lehrplan AHS Oberstufe (2016, BMB): https://www.ris.bka.gv.at/Dokumente/BgblAuth/BGBLA_2016_II_219/BGBLA_2016_II_219.pdfsig - Lehrplan AHS Oberstufe Mathematik (2016, BMB): https://argemathematikooe.files.wordpress.com/2016/11/bgbla_2016_ii_219_mathematik.pdf - Handreichung zum Mathematik-Lehrplan (2017): https://argemathematikooe.files.wordpress.com/2016/11/handreichung_lehrplan_mathematik_2016_bmb.pdf Alle Applets enthalten Beispiele bzw. Elemente, welche in GeoGebra Classroom (https://www.geogebra.org/classroom) genutzt werden können, weswegen das Buch zum digitalen Unterricht in Form von "Distance Learning", aber auch zu anderen Zwecken verwendet werden kann. Die Bachelorarbeit ist unter folgendem Link erreichbar: https://www.geogebra.org/m/q9xybbsq Hier gibt es u.a. Erklärungen zur Nutzung dieses GeoGebra Buches via GeoGebra Classroom. Ein didaktischer Kommentar (für Lehrkräfte) ist unter https://www.geogebra.org/m/wed7py6q erreichbar. Vielen Dank für die Betreuung an: Univ. Prof. DI Mag. Dr. Dr.h.c. Markus Hohenwarter Julia Wolfinger, BEd [i]Viel Spaß beim Lernen![/i]
Table of Contents
- Vorwissen
- Lineare Funktionen 1
- Lineare Funktionen 2
- Polynomgleichung 4. Grades
- Polynomfunktionen und Nullstellen
- Polynomfunktionen
- Motivation
- Temperaturmessungen beobachten
- Differenzen- und Differentialquotient
- Der Differenzenquotient
- Luftballon
- Interpretation(en) des Differenzenquotienten
- Differentialquotient
- Freier Fall eines Körpers
- Ableitungsfunktion
- Grafische Darstellung von Ableitungsfunktionen
- Ableitung einer Polynomfunktion 3. Grades
- Einfache Ableitungsregeln
- Ableitungsregeln
- Einfache Ableitungen
- Quadratische Funktionen und ihre Ableitung
- Höhere Ableitungen
- Volumen einer Kugel
- Untersuchen von Polynomfunktionen mittels Ableitungen
- Extremstellen und Monotonie
- Die Schildkröte
- Kurven in der Formel 1
- Extremwertaufgaben
- Tetra Pak
- Geschichtliches
- Zur Geschichte der Differentialrechnung
Lineare Funktionen 1
Aktiviere dein Vorwissen zu linearen Funktionen!
Kennst du dich schon gut mit linearen Funktionen aus? Nein? Dann ist jetzt der Zeitpunkt, dein Wissen zu aktivieren bzw. zu testen.[br]Wissen zum Thema "Lineare Funktionen" ist notwendig, damit du dich mit der Differentialrechnung auseinander setzen kannst. [br][br]Löse die folgenden Aufgaben!
Betrachte zunächst diese lineare Funktion:
Was ist die Bedeutung der Parameter[math]k[/math] bzw. [math]d[/math]?
Gegeben ist die Funktion [math]f(x)=2x+1[/math] (siehe oben). Welchen Wert hat [math]f(3)[/math]?
Die Rechenvorschrift [math]{\displaystyle t(v)={\frac {100}{v}}}[/math] gibt an, wie viele Stunden [math]t[/math] man für 100 km bei einer bestimmten Geschwindigkeit [math]v[/math] (in km/h) benötigt. Welchen Wert hat [math]t(50)[/math]?
Für die Rechenvorschrift aus der vorherigen Frage gilt: [math]t(25)=4[/math]. Was bedeutet das?
Wenn man einen Gegenstand von z.B. einem Turm fallen lässt, kann die Fallstrecke [math]s[/math] (in Meter) näherungsweise mit der Formel[math]s(t)=5t^2[/math] beschrieben werden, wobei [math]t[/math] die Fallzeit in Sekunden angibt. Um wie viel Meter fällt ein Gegenstand zwischen Sekunde 1 und 2?
Zusatzmaterial
Informationen
Mit diesem Arbeitsblatt trainierst du notwendiges Vorwissen, welches für die Differentialrechnung in der 7. Klasse AHS benötigt wird.
Quelle bzw. Literatur
Zum Unterrichten (2018). Abgerufen von https://unterrichten.zum.de/wiki/Einf%C3%BChrung_in_die_Differentialrechnung/Einstieg (16.12.2020)
Temperaturmessungen beobachten
Stell dir vor, du möchtest an deinem Wohnort die Temperatur messen. Dazu stehst du um 8 Uhr morgens auf und schaust alle 60 Minuten auf das Außenthermometer und schreibst auf, wie viel Grad Celsius es anzeigt. Das machst du 12 Stunden lang, also bis 20 Uhr.[br]Dabei könnte dann [b]folgende Tabelle [/b]entstehen:
Diagramm
Veranschauliche die Daten durch ein deiner Meinung nach geeignetes Diagramm, welches den Temperaturverlauf übersichtlich darstellt.
Mein Diagramm
In obiger Tabelle sind also die zu verschiedenen Tageszeiten gemessenen Temperaturen angegeben.[br]Betrachtet man in verschiedenen Zeitintervallen, z.B. [8;12], [12;14] und [10;16], die Temperaturänderungen, so erhält man etwa für [8;12] folgenden Wert: [br][b][br][list][*][b][8;12]: 13 − 9 = 4[br][/b][/*][/list][/b][br]Wie werden die beiden anderen Werte für [b][12;14] und [10;16] [/b]ermittelt? Kreuze die [b]beiden[/b] richtigen Antworten an!
Was bedeutet in diesem Zusammenhang die Rechnung [b]"[8;12]: 13 - 9 = 4"[/b]?
Was wir bisher gemacht haben, bringt uns i.A. noch nicht besonders viel, wenn wir die Temperaturentwicklung beobachten möchten, da die unterschiedliche Länge der Zeitintervalle nicht berücksichtigt wurde. Soll die Temperaturänderung als Vergleichsmaß dienen, so muss sie auf ein in allen Fällen gleiches Zeitintervall, etwa auf eine Stunde, umgerechnet werden. Also z.B.:[br][br][b][list][*][b][8;12]: 12 − 8 = 4, 4 : 4 = 1[br][/b][/*][*][b][12;14]: 14 − 12 = 2, 4 : 2 = 2[br][/b][/*][*][b][10;16]: 16 − 10 = 6, 4 : 6 = 0,67 [/b][/*][/list][/b][br]Betrachten wir die Rechnung für das Intervall [b][8;12][/b] etwas genauer: Wir haben insgesamt [math]\frac{T\left(12\right)-T\left(8\right)}{12-8}=\frac{13-9}{12-8}=\frac{4}{4}=1[/math], wobei wir die Werte für [math]T(12)[/math] und [math]T(8)[/math] in obiger Temperaturtabelle abgelesen haben. Wir haben also die absolute Änderung der Temperatur ([math]T(12)-T(8)[/math]) durch die verstrichene Zeit ([math]12-8[/math]) im Zeitintervall [b][8;12][/b] berechnet.[br]Nun ist es möglich, die Änderung der Temperatur pro Stunde in den gegebenen Zeitintervallen anzugeben.
Diese Betrachtung führt uns im Allgemeinen zu einem ersten wichtigen Begriff der Differentialrechnung, der [b]mittleren Änderungsrate (Differenzenquotient)[/b]. Diese gibt die mittlere Änderung in einem Zeitintervall [a;b] an. Betrachtet man die Zuordnung der Temperatur zu einer bestimmten Zeit als reelle Funktion [math]f(x)[/math], so ist der Differenzenquotient definiert durch: [br][br][math]\frac{f\left(b\right)-f\left(a\right)}{b-a}=\frac{\Delta f\left(x\right)}{\Delta x}[/math]
Dieser, sowie der Grenzwert des Differenzenquotienten (= Differentialquotient), wird in den nächsten Aktivitäten thematisiert.
Informationen
Dieses Beispiel dient der Motivation der Differentialrechnung anhand eines Alltagsbeispiels, das den Schüler*innen den Zugang erleichtern sollte.
Quelle bzw. Literatur
Hohenwarter, M. & Jauck, G. (2005). [i]Eine Einführung in die Differentialrechnung. Lernpfad[/i]. Abgerufen von [url=http://www.austromath.at/medienvielfalt/materialien/diff_einfuehrung/lernpfad/index.htm]http://www.austromath.at/medienvielfalt/materialien/diff_einfuehrung/lernpfad/index.htm[/url] (4.1.2021)
Der Differenzenquotient
Von der Geometrie über die Rechnung zur Bedeutung
Betrachte zuerst das Applet zur geometrischen Bedeutung des Differenzenquotienten:[br][br][b]1.[/b] Lasse dir Funktionswert, Sekante, Steigungsdreieck sowie den Differenzenquotienten durch Klicken der Kontrollkästchen anzeigen.[br][b]2.[/b] Verschiebe "a" und "b" dynamisch.
Geometrische Bedeutung
Berechne die mittlere Änderungsrate (also den Differenzenquotient) der Funktion [math]f\left(x\right)=\frac{2}{x}[/math] im Intervall [-5;-2]. Verwende dazu nachstehendes Applet!
Rechnerische Lösung
Was der Differenzenquotient beschreibt ...
Gegeben ist eine Zeit-Ort-Funktion [math]s(t)[/math] und ein Zeitintervall [t[sub]1[/sub];t[sub]2[/sub]]. Kreuze die [b]beiden[/b] richtigen Aussagen an!
Informationen
Mit diesem Arbeitsblatt trainierst du die Kompetenz(en): [br][br][list][*]Den[b] Differenzenquotienten[/b] (die mittlere Änderungsrate) und den Differentialquotienten (die lokale bzw. momentane Änderungsrate) definieren können[/*][*]Den [b]Differenzen- und Differentialquotienten[/b] als Sekanten- bzw. Tangentensteigung sowie in außermathematischen Bereichen deuten können[br][br][/*][/list]des [url=https://argemathematikooe.files.wordpress.com/2016/11/bgbla_2016_ii_219_mathematik.pdf]Mathematik-Lehrplans[/url] der AHS Oberstufe (BMB, 2016, S. 72).
Quelle bzw. Literatur
Malle, G., Woschitz, H., Koth, M. & Salzger, B. (2014). [i]Mathematik verstehen 7. [/i]Wien: ÖBV.[br](hier: S. 16)
Grafische Darstellung von Ableitungsfunktionen
Die Ableitung einer Parabel
Wie sieht die Ableitung der Funktion [math]f(x)=x^2[/math] aus?[br]Bewege den Schieberegler, um die Ableitung als Spur zu sehen.
Die Ableitung einer quadratischen Funktion ist also eine __________ Funktion.
Die Ableitung einer kubischen Funktion
Wie sieht die Ableitung der Funktion [math]f(x)=x^3[/math] aus?[br]Bewege den Schieberegler, um dies herauszufinden.
Die Ableitung einer kubischen Funktion ist also eine __________ Funktion.
Die Ableitung einer (beliebigen) Funktion
Wie sieht die Ableitung einer beliebigen Funktion [math]f[/math] aus?[br]Gib eine beliebige Funktion in das rote Fenster ein und bewege den Punkt [math]P[/math].[br](Alternativ kannst du auch links die "Animation" der Ableitungsfunktion starten.)
Ableitungsquiz
Betrachte jeweils die Ausgangsfunktion (oben) und die ihr zugeordnete Ableitung (unten). Wurde die Ableitung korrekt gezeichnet?[br](Eine neue Funktion erzeugst du durch Klicken von [i]"Neue Funktion"[/i].)
Zusatzmaterial
https://learningapps.org/display?v=pavctbtm320
Informationen
Mit diesem Arbeitsblatt trainierst du die Kompetenz(en): [br][br][list][*]Den [b]Begriff der Ableitungsfunktion[/b] kennen[/*][/list][br]des [url=https://argemathematikooe.files.wordpress.com/2016/11/bgbla_2016_ii_219_mathematik.pdf]Mathematik-Lehrplans[/url] der AHS Oberstufe (BMB, 2016, S. 72).
Quelle bzw. Literatur
Lindner, A. (2012). [i]Grafisches Ableiten.[/i] Abgerufen von https://www.geogebra.org/m/eWcuw4jY (19.1.2021)[br]Söser, K. (2013). [i]Ableitungsquiz. Ist das die Ableitungsfunktion.[/i] Abgerufen von [url=https://www.geogebra.org/m/XdxWp5rR]https://www.geogebra.org/m/XdxWp5rR[/url] (16.12.2020)
Ableitungsregeln
Bevor wir mit dem Rechnen mit Ableitungen beginnen, müssen wir einige wesentliche Ableitungsregeln kennenlernen. Dazu gehören die Ableitung ...[br][br][b]1. [/b]konstanter Funktionen (Beispiele: [math]f(x)=c[/math], [math]f(x)=3[/math])[br][b]2. [/b]Polynomfunktionen (Beispiele: [math]f(x)=x^2[/math], [math]f(x)=x^5[/math])[br][b]3.[/b] einfacher Winkelfunktionen (Beispiel: [math]f(x)=sin(x)[/math])[br][b]4.[/b] der Exponentialfunktion (Beispiel: [math]f(x)=e^x[/math])
Für [i]konstante[/i] Funktionen gilt: [math]f\left(x\right)=c\Longrightarrow f'\left(x\right)=0[/math].
Berechne f'(x)!
Für [i]Polynomfunktionen[/i] gilt [math]f\left(x\right)=x^r\Longrightarrow f'\left(x\right)=r\cdot x^{r-1}[/math], wobei [math]r\in\mathbb{N},r\in\mathbb{Z},r\in\mathbb{Q}[/math] sein kann.
Berechne f'(x)!
Für die [i]zentralen Winkelfunktionen[/i] Sinus und Kosinus gilt:[br][br][b]1.[/b] [math]f\left(x\right)=sin\left(x\right)\Longrightarrow f'\left(x\right)=cos\left(x\right)[/math][br][b]2.[/b] [math]f\left(x\right)=cos\left(x\right)\Longrightarrow f'\left(x\right)=-sin\left(x\right)[/math],[br][br]wobei [math]x[/math] im Bogenmaß.
Berechne f'(x)!
Für die Exponentialfunktion [math]e^x[/math], mit der Euler'schen Zahl als Basis, gilt, dass Ableitung und Ausgangsfunktion übereinstimmen: [math]f\left(x\right)=e^x\Longrightarrow f'\left(x\right)=e^x[/math].
Klicke den weißen Kreis, um die Übereinstimmung zu sehen!
Weitere Ableitungsregeln
Für das Rechnen mit Ableitungen ist des Weiteren die Kenntnis der folgenden [b]Ableitungsregeln[/b] zentral:[br][br][b]1. [/b]Summenregel: [math]f\left(x\right)=g\left(x\right)+h\left(x\right)\Longrightarrow f'\left(x\right)=g'\left(x\right)+h'\left(x\right)[/math][br][b]2.[/b] Regel vom konstanten Faktor: [math]f\left(x\right)=c\cdot g\left(x\right)\Longrightarrow f'\left(x\right)=c\cdot g'\left(x\right)[/math][br]
Berechne die Ableitungen der Funktionen f und g!
Informationen
Mit diesem Arbeitsblatt trainierst du die Kompetenz(en): [br][br][list][*][b]Ableitungsregeln [/b]für Potenz- und Polynomfunktionen kennen und anwenden können[br][br][/*][/list]des [url=https://argemathematikooe.files.wordpress.com/2016/11/bgbla_2016_ii_219_mathematik.pdf]Mathematik-Lehrplans[/url] der AHS Oberstufe (BMB, 2016, S. 72).
Quelle bzw. Literatur
Malle, G., Woschitz, H., Koth, M. & Salzger, B. (2014). [i]Mathematik verstehen 7.[/i] Wien: ÖBV. [br](hier: S. 30)[br]Behrends, E. (2014). [i]Analysis Band 1. Ein Lernbuch für den sanften Wechsel von der Schule zur Uni. Von Studenten mitentwickelt.[/i] Wiesbaden: Springer.[br](hier: S. 249)[br][br][br]
Extremstellen und Monotonie
Bestimmen von Extrema und Monotoniebereichen in GeoGebra
Mithilfe der Software [b]GeoGebra[/b] ist es nicht besonders schwierig, [b]Extremstellen oder auch Monotonieintervalle[/b] von Funktionen zu bestimmen. Es geht also vielmehr darum, diese zu interpretieren.
Richtig oder Falsch ?!
Beantworte nun folgende Fragen zum obigen GeoGebra-Applet:
Der[color=#0000ff] blaue[/color] Graph zeigt die ... der [color=#ff0000]roten[/color] Funktion.
Der Punkt A ist ein Extremum der oben dargestellten Funktion [math]g[/math].
Die Ableitungsfunktion von [math]g[/math] schneidet die [math]x[/math]-Achse im Koordinatenursprung.
B ist eine Nullstelle der Funktion [math]g[/math].
Sowohl Funktion als auch Ableitungsfunktion besitzen kein Extremum.
Die Funktion [math]f[/math] besitzt genau ein Extremum, nämlich einen Hochpunkt.
Die Funktion [math]g[/math] ist im [color=#38761d]grün[/color] hinterlegten Intervall streng monoton steigend.
Nachdem A ein Extremum der Ableitungsfunktion ist, schneidet die Funktion hier die [math]x[/math]-Achse.
Zusatzmaterial
Informationen
Mit diesem Applet trainierst du die Kompetenzen: [br][br][list][*]Monotonie- und Krümmungsbereiche, Extremstellen, Wendestellen und Sattelstellen (Terrassenstellen) mit [b]Hilfe der Ableitung beschreiben[/b] können[/*][*][b]Untersuchungen von Polynomfunktionen[/b] in inner- und außermathematischen Bereichen durchführen können[br][br][/*][/list]des [url=https://argemathematikooe.files.wordpress.com/2016/11/bgbla_2016_ii_219_mathematik.pdf]Mathematik-Lehrplans[/url] der AHS Oberstufe (BMB, 2016, S. 72).
Quelle bzw. Literatur
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Tetra Pak
*Anzeige
Wir wollen eine eine Getränkekarton-Verpackung (z.B. für Fruchtsäfte) so produzieren lassen, sodass die Oberfläche minimal ist. D.h. in der Praxis, dass möglichst wenig Material (in diesem Fall: Karton) für die Herstellung der Verpackung benötigt wird. Solche Fragen nennt man Extremwertprobleme, welche man mit Hilfe von Ableitungen bzw. der Differentialrechnung lösen kann.
Aufgabe
Ein Getränkekartonverpackung hat ein Volumen von 1 Liter, wobei wir annehmen, dass die Grundfläche des Tetra Pak ein Quadrat ist.[br][br][b]Frage:[/b] [b]Welche Höhe sollte das Tetra Pak (bei dem vorgegebenen Fassungsvermögen) haben, sodass möglichst wenig Karton verbraucht wird?[/b]
Haupt- und Nebenbedingung
Da die Oberfläche minimiert werden soll, ist diese unsere Hauptbedingung. Unter der Annahme einer quadratischen Grundfäche ist die Formel dafür: [math]O\left(a,b\right)=2a^2+4ab[/math]. Für das Volumen (Grundfläche mal Höhe) gilt: [math]V\left(a,b\right)=a^2b[/math]. Wir wissen (Angabe): [math]V(a,b)=1000[/math] ml. [br][br]Da unsere Zielfunktion (die Oberfläche) nun aber nur von einer Variablen abhängen soll, z.B. von [math]a[/math], stellen wir die Formel für das Volumen auf [math]b=[/math] um, um eine Variable ([math]b[/math]) zu eliminieren. Nutze dazu folgendes digitale Whiteboard:
[math]O(a)=[/math] ...
Lösung in GeoGebra CAS
[b]1.[/b] Tippe die gefundene Zielfunktion, welche nur mehr von einer Variablen abhängt, ein.[br][b]2. [/b]Leite die Oberfläche nach der Variablen [math]a[/math] ab.[br][b]3.[/b] Löse die Gleichung [math]O'(a)=0[/math]. Bezeichne deine Lösung mit [math]a[/math].[br][b]4.[/b] Bestimme [math]O''(a)[/math].[br][b]5.[/b] Bestimme die Oberfläche für dieses gefundene [math]a[/math], indem du [math]a[/math] in [math]O(a)[/math] einsetzt.
Führe die Schritte 1-5 durch!
Der Kandidat für die Extremstelle lautet: [math]a=[/math] _________
Die 2. Ableitung an der Stelle [math]a[/math] ist ...
Das bedeutet, dass an der Stelle [math]a[/math] tatsächlich ...
Wir müssen noch die eigentliche Ausgangsfrage beantworten, nämlich bei welche Höhe (in diesem Fall mit [math]b[/math] bezeichnet) die Oberfläche minimal ist. Verwende dazu [math]O(a,b)[/math] und setze dafür die Oberfläche, welche du bereits ausgerechnet hast, ein, Dann forme auf [math]b=[/math] um.
Welche der folgenden Aussagen sind richtig?
Graphische Überprüfung
Teste deine Ergebnisse anhand der folgenden Grafik:[br][br][b]1.[/b] Ziehe den Punkt "Zieh mich", sodass die Oberfläche deinen ausgerechneten Wert beträgt.[b][br]2.[/b] Entsteht wirklich ein __________ ?
Informationen
Mit diesem Applet trainierst du die Kompetenzen: [br][br][list][*][b]Untersuchungen von Polynomfunktionen [/b]in inner- und außermathematischen Bereichen durchführen können; einfache [b]Extremwertaufgaben[/b] lösen können (Ermittlung von Extremstellen in einem Intervall)[/*][/list][br]des [url=https://argemathematikooe.files.wordpress.com/2016/11/bgbla_2016_ii_219_mathematik.pdf]Mathematik-Lehrplans[/url] der AHS Oberstufe (BMB, 2016, S. 72).
Quelle bzw. Literatur
Lindner, A. (2020). [i]Saftbox.[/i] Abgerufen von https://www.geogebra.org/m/qMvN2Rzz#material/Z9fX9tDR (2.1.2021)
Zur Geschichte der Differentialrechnung
Über Leibniz, Newton & Co.
Lese im Wikipedia-Artikel zur Differentialrechnung Punkt 1 "Geschichte".[br]Dann versuche folgende Fragen zu beantworten!
Die Differentialrechnung bildete sich aus dem ...
Auf wen gehen die "ersten Anfänge" der Differentialrechnung zurück?
Was betrachtetet Pierre de Fermat allerdings noch nicht?
Rene Descartes konnte bereits (für bestimmte Kurven) ...
Welche beiden Herren prägten im 17. Jhdt. die Geschichte der Differentialrechnung?
Informationen
Dieses Applet deckt keinen Inhalt des Lehrplans ab. Es dient zur Vertiefung bzw. als Zusatzmaterial und liefert historische Hintergründe zur Entstehung der Differentialrechnung.
Quelle bzw. Literatur
Wikipedia (2020). Abgerufen von https://de.wikipedia.org/wiki/Differentialrechnung#Geschichte (16.12.2020)