«[color=#0000ff][b]4 círculos concurrentes[/b][/color] se cortan en 6 puntos más; los [color=#ff0000][b]4 círculos que pasan por los 3 puntos que no están en uno de ellos[/b][/color], también concurren»

Las dos cuaternas de círculos son intercambiables. De hecho, los pares de puntos [color=#ff00ff][b]P[sub]xy[/sub][/b][/color] que no comparten letras en el subíndice, en cada uno de los cuales se intersecan pares disjuntos de círculos, son intercambiables con los puntos [b][color=#0000ff]P[/color][/b] y [color=#ff0000][b]Q[/b][/color], por lo que con los mismos círculos hay 4 (o más bien 8) enunciados.[br][br]Para demostrarlo basta realizar una inversión respecto del punto [b][color=#0000ff]P[/color][/b]. Las circunferencias azules se transforman entonces en rectas que no pasan por [color=#0000ff][b]P[/b][/color], determinando un cuadrilátero completo, en el que pueden considerarse cuatro triángulos, correspondientes a cada terna de rectas. Las circunferencias circunscritas a estos cuatro triángulos pasarán por un punto [b]Q'[/b], el [url=https://ilarrosa.github.io/GeoGebra/Punto_Miquel_4r.html]Punto de Miquel del cuadrilátero[/url]. Las inversas de estas cuatro circunferencias, en la misma inversión, se transforman entonces en las cuatro circunferencias rojas que se cortan en el punto [b][color=#ff0000]Q[/color][/b], inverso de [b]Q'[/b].