Mint [b][url=https://www.geogebra.org/m/auqzucks#material/sskxwdyt]itt[/url][/b] említettük, egy közönséges poliéder megadásához két dolgot kell egyértelműen meghatároznunk:[br][list][*]a kombinatorikus szerkezetét, vagyis azt, hogy egy-egy lapjának hány csúcsa van, és ezek a lapok melyekkel és milyen sorrendben csatlakoznak egymáshoz;[/*][*]a csúcsainak a koordinátáit, ügyelve arra, hogy ezek egyszerű, egymással nem ütköző sokszögeket alkossanak.[/*][/list]Itt most toroidokat fogunk megadni, vagyis olyan poliédereket, amelyek felülete folytonos deformálással [url=https://hu.wikipedia.org/wiki/T%C3%B3rusz]tórusszá[/url] alakíthatnánk. Ezen belül olyanokat, amelyek minden lapja hatszög, és minden csúcsába pontosan három él fut be. Ezt így jelöljük:[b] {6,3} [/b][br][br]Ezekről a poliéderekről [b][url=http://db.komal.hu/KomalHU/cikk.phtml?id=198322]itt[/url] [/b]és [b][url=https://www.komal.hu/cikkek/2008-01/toroid.h.shtml]kissé bővebben itt [/url] [/b]olvashatnak a részletek iránt érdeklődő olvasóink. Ezekből az írásokból kiderül, hogy a keresett poliéderek kombinatorikus szerkezetét egy-egy tóruszra rajzolt térképpel lehet megadni, ezt a felületet pedig helyettesíthetjük egy olyan téglalappal, (paralelogrammával) amelynek a szemközti éleit azonosnak tekintjük. Sőt egy ilyen téglalap helyett tekinthetjük azt a -nem korlátos - paralelogramma rácsot, amelyek egy ilyen paralelogrammának az oldalaival megegyező irányú és nagyságú eltolásával kapunk. [br][br]Így tehát egy szabályos hatszögrácson tehetjük szemléletessé, hogy miként lehet megadni egy-egy {6,3} típusú toroid kombinatorikus szerkezetet, egyben igazolni, hogy az alább bemutatottaktól eltérő kombinatorikus szerkezetű - legfeljebb 15 lapú - toroid nem létezik.[br][br] Ezekről a rajzokról tudjuk majd "leolvasni" azt az [b]F{} [/b] listát, amelyben a kapott számok egy egy poliéder csúcsainak a sorszámai, ahol magukat a csúcsokat (majd) a [b]V{}[/b] pont-listában adjuk meg.[br]

Vegyük először alaposan szemügyre az alábbi applet első rajzát, amelyből kiolvasható a [b]F07k1{} [/b]lista, amely a [url=https://www.geogebra.org/m/auqzucks#material/tykk3aed]hétlapú toroid[/url] kombinatorikus szerkezete.[br][br]A rajzon sötétebb barnával jelölt hatszögekre írt 1, 2, ..7 számok lesznek a hétlapú poliéder lapjainak a sorszámai. Ezt a 7 tagú sorozatot jobbra és balra eltolva kitöltöttük számokkal a hatszögrács egy sorát. [br]Ezt a kitöltött sort lefelé 1-el és jobbra 3-al - pontosabban: 2+1/2-el - eltolva kapjuk a következő sort. - Ezt az eltolást mutatja a piros nyíl: a barna "sor " eltolt képe a világosbarna. Ezzel az eltolással pl. az 1. sorszám a 3. és 4. alá került. [br]Ezt az eltolást le és fel ismételve megjelölhető az 1,2,..7 számmal az egész hatszögrács.[br][br]Más megfelelő eltolás nincs. Ugyanis ha pl az 1. sorszám a 4. és 5. alá kerülne, akkor a 4. két helyen is szomszédos lenne a 7.-el. [br][br] A szabályos hatszögrácsnak van még két "sora": a jobbra lefelé mutató kék, és a balra lefelé mutató zöld. [br]Ezek azonban egybevágó konstrukciók a barna, sorral csak a sorszámok más permutációban követik egymást. Tehát a 7 lapú {6,3} szabályos toroidnak csak egy kombinatorikus típusa létezik. [br][br]Lássuk most el a hatszögrács csúcsait is rendre az 1,2,...14 számokkal! Ezeket a transzformációkat követve megjelennek a hatszöglapok csúcsaiban a keresett poliéder csúcsainak a sorszámai. Így kapjuk az [b]F07k1{}[/b] lista elemeit. A lista neve arra utal, hogy ezzel leírtuk azt a tóruszra rajzolt szabályos gráfot, amelynek 7 tartománya van, minden tartománynak másik hattal van közös éle. [b] k1 [/b]azt jelzi, hogy csak egy ilyen gráf létezik.[br][br]A rajzon keletkezett egy paralelogramma rács is, amit az azonos sorszámú hatszögek középpontjai alkotnak. [br]Aki szeretné "látni" magát a tóruszra rajzolt térképet, elegendő kivágni a síkból egy olyan paralelogrammát, amelynek a csúcsai pl. az 1. sorszámú hatszögek középpontjai. [br]

Olvasóinkra bízzuk a többi, 8, 9,...15 tartományú gráf megvizsgálását.[br][br] Felhívjuk a figyelmüket, hogy 9, 12, 13, 14, és 15 lap esetén több egymástól különböző kombinatorikus szerkezet is létezik. Annak a vizsgálatát, hogy több valóban nem létezhet, olvasóinkra bízzuk. [br][br]Figyeljük meg, hogy van két olyan eset, ahol az elsőként megjelölt 1, 2, ...n jelű hatszögek nem rendezhetők egy sorba. Ez az [b]F09k2[/b] és az [b]F12k4[/b] gráf.[br][br]Megjegyezzük még, hogy ezekről a rajzokról leolvashatók a tóruszfelületre feszített [i]{6,3}[/i] szabályos gráfok duális,[b] [i]{3,6}[/i] [/b]típusú gráfok kombinatorikus szerkezete is. Ezek azok, amelyek tartományai háromszögek,és minden tartományba 6 él fut be. Ezeket úgy kapjuk, hogy hogy a lap sorszáma az ami a fenti rajzon a csúcsokat jelölte, a csúcsoké az, ami a lapokat jelölte.[br][br]Pl. az F07k1[sub]{6,3}[/sub] gráf duálisa a [br][list][*]DF07k1[sub]{3,6}[/sub]={[br]{1,3,4}, {2,4,5}, {3,5,6}, {4,6,7}, {5,7,1}, {6,1,2}, {7,2,3},[br]{4,2,1}, {5,3,2}, {6,4,3}, {7,5,4}, {1,6,5}, {2,7,6},{3,1,7}}[br][/*][/list]gráf. Itt, és az appletben megadott listákban is fellelhető valamilyen "rendszer", de ez csak az áttekinthetőség szempontjából fontos, a lista elemei bármilyen sorrendben ugyanazt a gráfot határozzák meg, a lista egy elemén belül is változhat a ciklikus sorrend. [br][br]A {3,6} típusú gráfokból könnyű (??) poliédert készíteni, hiszen csak arra kell ügyelni, hogy az egy háromszöglapot meghatározó pontok ne essenek egy egyenesre. Bár azt, hogy a kapott felület lapjai ne ütközzenek egymással, nem egyszerű elérni. [url=https://www.geogebra.org/m/auqzucks#material/ntchmfa7]Császár Ákosnak sikerült.[br][br][/url]Arról a kérdésről, hogy a fenti appletben bemutatott kombinatorikus szerkezetekhez tartoznak-e közönséges poliéderek, a fejezet további munkalapjain kapunk választ.

Képzeljük el, hogy egy társaságban mindenki megfogja két társának a kezét. [br]Ezzel előáll egy (vagy több) emberekből álló kör. (Mint ahogy az oviban megtettük.) Így olykor csak egy "kör" keletkezik. Na ez a [url=https://hu.wikipedia.org/wiki/William_Rowan_Hamilton]Hamilton[/url]-kör.[br][br]Fogalmazzunk egy kicsit pontosabban.[br]Egyszerű gráfoknak nevezzük azokat a véges gráfokat, amelynek bármely két csúcsát legfeljebb egy él köti össze. [br]Egy gráf éleiből álló (véges) sorozatot [i]útnak[/i] nevezünk, ha a megadott élsorozat minden élének van közös csúcsa a vele szomszédos élekkel. Ha a sorozat első és utolsó éle is szomszédos, akkor az utat [i]körnek [/i]nevezzük. [i][url=https://www.mateking.hu/matematika-kepletgyujtemeny/hamilton-kor]Hamilton-kör[/url][/i] a gráfnak egy olyan köre, amely a gráf minden csúcsát tartalmazza. [br][br]Érdekes, gyakran vizsgált kérdés, hogy egy egyszerű véges gráfnak van-e Hamilton köre, és ha igen akkor hány egymástól különböző Hamilton-köre létezik.

Vegyük szemügyre egy szabályos hatszögrácsot, pl. a fenti applet hatszögrácsait. Színezzük ki az éleit három színnel úgy, hogy a szemközti (itt párhuzalos) élek ugyanazt a színt kapják.[br][br]Ha most a hatszögrácsból készítünk egy tóruszra rajzolt gráfot - mint a fenti appletben - akkor a két szín topológiai értelemben vett köröket képez. Többnyire egy-egy Hamilton-kört. [br][br]Pl. az F07 gráf esetében a Hamilton-körök csúcsainak a listái a térképről könnyen(??) leolvashatók:[list][*]H1={ 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14}[/*][*]H2={ 1, 2, 11, 12, 7, 8, 3, 4, 13, 14, 9, 10, 5, 6}[/*][*]H3={ 1, 14, 9, 8, 3, 2, 11, 10, 5, 4, 13, 12, 7, 6} [br][/*][/list]A fejezet ezt követő anyagaiban rendre olyan poliédereket tárunk olvasóink elé, amelyek kombinatorikus szerkezeteit itt mutattuk be. [br]Mint látni fogjuk, e poliéderek előállításának az egyszerűbb (??) részét, a kombinatorikus szerkezetének az előállítását mutatjuk be. [br][br]Az élek színezésével követhetővé válik az élhálózatból előálló körök keletkezése. A három szín közül bármelyiket elhagyjuk, akkor a rács minden csúcsára pontosan két különböző színű kiszínezett él illeszkedik. A további anyagokban megjelenített poliéderek éleinek -és köreinek a színezésére a jól ismert [b][size=150][color=#ff0000]R[/color][color=#00ff00]G[/color][color=#0000ff]B[/color][/size][/b] színeket használtuk, ahol ezek rendre a hatszögek szemközti éleinek a színei. Amikor a körök kialakításakor egy-egy színhez tartozó éleket elhagytuk, akkor a megmaradt két szín helyett egy színnel jelöltük a kapott köröket, a színek "keverésének" megfelelő módon: [br][list][*][b][size=200][size=150][b][size=200][size=150][color=#ff0000] ◀[/color] + [color=#0000ff]▶[/color] =[color=#ff00ff] ◀▶ [/color][/size][/size][/b][/size][/size][/b][/*][*][b][size=200][size=150][color=#ff0000][/color][b][size=200][size=150][b][size=200][size=100][color=#ff0000]◀[/color][/size][size=150][b][size=200][size=150][b][color=#ff0000][/color][color=#ff7700] [/color][color=#333333]+[/color][color=#ff7700] [/color][color=#00ff00]▶[/color][color=#ff7700] [/color][color=#333333]=[/color][color=#ff7700] [/color][color=#f1c232]◀[/color][color=#f1c232]▶[/color][/b][/size][/size][/b][/size][/size][/b][/size][/size][/b][/size][/size][/b][/*][*][b][size=200][size=150][b][size=200][size=150][b][size=200][size=150][b][size=200][size=150][b][size=200][size=150][b][size=200][size=150][b][color=#00ff00]◀ [/color][color=#333333]+[/color][color=#00ffff] [/color][color=#0000ff]▶[/color][color=#00ffff] [/color][color=#333333]=[/color][color=#00ffff] ◀▶[/color][/b][/size][/size][/b][/size][/size][/b][/size][/size][/b][/size][/size][/b][/size][/size][/b][/size][/size][/b][/*][/list]Azt, hogy ezekhez a kombinatorikus szerkezetekhez találjunk olyan csúcs-koordinátákat, amelyek valóban közönséges poliédereket eredményeznek, e sorok írója számára több évig tartó szép foglalatosság volt. [br][br]Annak az eldöntése, hogy az eredmény is szép-e , olvasóinkra vár.