Summiert man die Flächen aller Streifen, die komplett unterhalb der Funktion liegen und maximal groß sind, auf, so spricht man von der Untersumme.[br]Die entsprechende Obersumme ergibt sich aus der Flächensumme der Rechtecke, die alle oberhalb der Funktion liegen, aber gleichzeitig minimal klein sind.[br][br]Bestimmen Sie mit dem nachfolgenden Applet die eingeschlossenen Flächeninhalte zwischen der Funktion [math]f[/math] und der x-Achse im Bereich von 0 bis X. [br][list=1][*][math]f\left(x\right)=x[/math] [/*][*][math]f\left(x\right)=2x+1[/math] [/*][*][math]f\left(x\right)=4,5x[/math] [/*][*][math]f\left(x\right)=x^2[/math] [/*][*][math]f\left(x\right)=0,5x^2[/math] [/*][*][math]f\left(x\right)=x^2-2x+2[/math] [/*][*][math]f\left(x\right)=0,25x^3[/math][/*][/list][br]Unterteilen Sie dazu den Bereich [0; X] mit dem Schieberegler in gleich große Teilintervalle.

An dieser Stelle möchte ich mich ausdrücklich bei Herrn [b]Manuel Garcia Mateos[/b] bedanken, der die ursprüngliche Geogebra-Datei erstellt hat.

Der Flächenunterschied bei [b]einem Streifen[/b] der Unter- und der Obersumme ist immer ein Rechteck.[br]Die Breite dieses Rechteckecks wird immer kleiner, je größer man die Anzahl der Teilintervalle wählt. Die Höhe [b]aller Rechtecke (Flächenunterschiede)[/b] ergibt zusammen immer den Wert [math]f\left(X\right)-f\left(0\right)[/math].[br][br]Betätigen Sie nun auch den Verschiebungsregler der Differenzen. Nun können Sie entdecken, wie die Unterschiede zwischen Ober- und Untersumme immer kleiner werden und sich die beiden Summen dem echten Flächeninhalt von oben bzw. unten annähern.