Si cada uno de los tres vértices de un triángulo se halla en cualquiera de las ramas de una hipérbola equilátera, el ortocentro también. De los cuatro puntos, vértices más ortocentro, siempre hay tres en una rama y otro en la otra.

Como todas las hipérbolas equiláteras tienen la misma forma, basta probarlo con [b][color=#ff0000]x·y=1[/color][/b], lo que se hace muy fácilmente. Para ver en qué rama se distribuyen los puntos, no hay más que observar los signos de sus coordenadas.[br][br]Este resultado se debe a [url=https://es.wikipedia.org/wiki/Charles_Brianchon]Brianchon[/url] y [url=https://es.wikipedia.org/wiki/Jean-Victor_Poncelet]Poncelet[/url] (1821, Annales de Montpellier, Tomo XI, 1 de Enero). La solución original que proporcionaron, utilizando el [url=https://ilarrosa.github.io/GeoGebra/Pascal.html]Teorema del hexágono de Pascal[/url] de la geometría proyectiva, puede verse en el [url=https://trianguloscabri.github.io/curso20062007/sol341garcap/brianchon-poncelet.pdf]problema 341[/url] de las páginas [url=https://trianguloscabri.github.io/]Triángulos Cabri[/url] de Ricardo Barroso Campos.[br][br]Es interesante recordar que el triángulo formado por dos vértices y el ortocentro, tiene como [url=https://ilarrosa.github.io/GeoGebra/Alturas.html]ortocentro al tercer vértice[/url]. El conjunto de los cuatro puntos es lo que se conoce como «cuadrivértice ortocéntrico» y los cuatro triángulos que determinan comparte la misma circunferencia de los nueve puntos, [color=#ff00ff][b]c[sub]9[/sub][/b][/color] en la figura. Esta circunferencia pasa por los tres puntos medios de los lados, los tres pies de las alturas y los tres puntos medios entre [color=#ff0000][b]H[/b][/color] y cada uno de los vértices. Por tanto es homotética de la circunferencia circunscrita respecto de [b][color=#ff0000]H[/color][/b] con razón ½. Su centro [color=#ff00ff][b]N[/b][/color] es por tanto el punto medio entre [color=#ff0000][b]H[/b][/color] y el circuncentro [color=#0000ff][b]M[/b][/color], y su radio es la mitad que el de la circunscrita. Como se ve con un poco de cálculo analítico, [color=#ff00ff][b]c[sub]9[/sub][/b][/color] siempre pasa por el centro de la hipérbola.[br][br]El planteamiento contrario es también muy interesante: [url=https://ilarrosa.github.io/GeoGebra/HipEquiTriang.html]Hipérbolas equiláteras circunscritas a un triángulo[/url]. Como se ha visto aquí, pasan necesariamente por el ortocentro y su centro está en la circunferencia de los nueve puntos.