Egyenletek,egyenletrendszerek,egyenlőtlenségek
Table of Contents
- Egyenlet
- Egyenlet(Feladat megoldással)
- Egyenlet-megoldási módszerek
- Mérlegelv
- Grafikus megoldás
- Szorzattá alakítás
- Értelmezési tartomány vizsgálata
- Értékkészlet vizsgálata
- Új ismeretlen vizsgálata
- Ekvivalens egyenletek,következményegyenletek
- Ekvivalencia (egyenértékűség)
- Gyökvesztés,gyöknyerés(hamis gyök)
- Gyökvesztés
- Gyöknyerés(hamis gyök)
- Egyenletfajták
- Egyenletfajták
- Elsőfokú egyismeretlenes egyenletek
- Egyismeretlenes másodfokú egyenletek
- A másodfokú egyenletek megoldóképlete
- A másodfokú egyenletek diszkriminánsa
- A másodfokú egyenletek gyöktényezős alakja
- Másodfokú egyenlet gyökei és együtthatói közötti összefüggések (Viéte-formulák)
- Magasabb fokú és másodfokúra visszavezethető egyenletek
- Egyenletrendszerek
- Egyenletrendszerek
- 1.megoldási mód-Behelyettesítő módszer
- 2.megoldási mód-Egyenlő együtthatók módszere
- 3.megoldási mód-Új ismeretlen bevezetése
- 4.megoldási mód-Grafikus módszer
- Egyenlőtlenségek, egyenlőségrendszerek
- Egyenlőtlenségek, egyenlőségrendszerek
- Egyenlőtlenségek megoldási módszerei
- Egyenlőtlenségek megoldási módszerei
- Paraméteres egyenletek, egyenlőtlenségek
- Problémamegoldás egyenletekkel, egyenlőtlenségekkel
- egy
Egyenlet(Feladat megoldással)
Mérlegelv
1.Mérlegelv
[size=100][left]Az egyenlet két oldalának egyforma változásának módszere.[br][u]Az egyenlet gyökeinek halmaza nem változik, ha:[/u][/left][list][*]az egyenlet mindkét oldalához ugyanazt a számot hozzáadjuk, vagy mindkét oldalából kivonjuk[br][/*][*]az egyenlet mindkét oldalát ugyanazzal a 0-tól különbözõ számmal szorozzuk, osztjuk[/*][/list][/size]
Példa
[center][math]2x+45=245\setminus-45[/math][br][math]2x=200\setminus:2[/math][br][math]x=100[/math][br][br][u][br][/u][/center]
Ekvivalencia (egyenértékűség)
Ekvivalencia
[color=#ff0000][u][b]Definíció[/b][/u][/color]: Két egyenlet ekvivalens, ha alaphalmazuk és megoldáshalmazuk is azonos.[br][b][u][color=#ff0000]Definíció[/color][/u][/b]: Ekvivalens átalakítás az olyan átalakítás, amit egyenletek megoldása közben végzünk és ezzel az átalakítással az eredetivel ekvivalens egyenletet kapunk.[br]Ekvivalens átalakítás például az egyenlet mérlegelvvel történő megoldása. [br]Nem ekvivalens átalakítás például változót tartalmazó kifejezéssel osztani az egyenlet mindkét oldalát, vagy négyzetre emelni az egyenlet mindkét oldalát.[br]Az egyenletek megoldása során nem mindig van lehetőségünk ekvivalens átalakításokat végezni.[br]Ha lehet, ilyen esetekben vagy értelmezési tartomány, vagy értékkészlet vizsgálattal próbálunk feltételeket felállítani.[br]De még így is előfordulhat, hogy olyan átalakítást végzünk, amely során:[br][list][*]az új egyenletnek szűkebb az értelmezési tartománya, mint az eredetinek, ekkor gyökvesztés állhat fenn[/*][*]az új egyenletnek bővebb az értelmezési tartománya, mint az eredetinek, ekkor gyöknyerés állhat fenn[/*][/list]
Gyökvesztés
Gyökvesztés következhet be, ha a változót tartalmazó kifejezéssel osztjuk az egyenlet mindkét oldalát, vagy olyan átalakítást végzünk,amely szűkíti az értelmezési tartományt.
Egyenletfajták
Egy [b]egyenlet[/b] aszerint, hogy hány változó van benne, lehet egyismeretlenes, kétismeretlenes, háromismeretlenes, ... többismeretlenes.[br] Algebrai egyenletek azok az egyenletek, amelyekben algebrai kifejezések szerepelnek csupán. Nem algebrai (transzcendens) egyenletek az olyan egyenletek, amelyekben ismeretlent tartalmazó kifejezésekben a négy alapműveleten, a hatványozáson és a gyökvonáson kívül más[br]művelet is szerepel, pl.:abszolút érték művelete, logaritmus művelete, ...[br][u]Első-, másod-, harmadfokú[/u] ... egyenletekről a ''polinom = polinom'' alakú algebrai egyenletek körében beszélünk. Az ilyen egyenletek mindig ''polinom = 0'' alakúra hozhatók. Egy ''polinom = 0'' alakú egyenlet fokszáma a polinom fokszáma.[br][b]Törtes egyenletek[/b] az olyan egyenletek, amelyeknek mindkét oldalán racionális kifejezés áll, és talalálható az egyenletben törtkifejezés.[br]Törtes egyenletek megoldásakor gyakran végzünk olyan műveleteket, amikor hamis gyököt kaphatunk, vagy elveszíthetünk gyököt.[br][b]Gyökös egyenletek[/b] az olyan egyenletek, amelyeknek mindkét oldalán algebrai kifejezés áll, és található az egyenletben gyök alatt[br]ismeretlen.[br]Gyökös egyenletek megoldásakor nem ekvivalens átalakításokat is végzünk. Ilyenkor mindig fontos a gyökök ellenőrzése.[br]A gyökös egyenletek megoldása előtt célszerű meghatározni a feladatban szereplő kifejezések értelmezési tartományát.
Egyenletrendszerek
Két-, három-, ... n ismeretlenes egyenlet esetén az egyenletet igazzá tevő számpárokat, számhármasokat, ... szám n-eseket keresünk.Előfordulhat azonban, hogy egy többismeretlenes egyenletnek van egyértelmű megoldása.[br]Amikor olyan számpárokat vagy számhármasokat ... vagy szám n-eseket keresünk, amelyek egyszerre több adott legfeljebb két- vagy három- ... vagy n ismeretlenes egyenletet tesznek igazzá, két- vagy három- vagy n ismeretlenes egyenletrendszer megoldását keressük.[br]Egy kétismeretlenes elsőfokú egyenletrendszer legfeljebb kétismeretlenes elsőfokú egyenletekből áll. [br]Az egyenletben ugyanaz a két ismeretlen szerepel, és olyan számpárokat keresünk, amelyek az egyenletrendszerben szereplő mindegyik egyenletet igazzá teszik. Az ilyen számpárok az egyenletrendszer megoldásai.[br]Speciálisan vizsgálni szokták a két egyenletből álló kétismeretlenes egyenletrendszereket. Hasonlóan beszélhetünk három egyenletből álló háromismeretlenes elsőfokú egyenletrendszerről, ... n egyenletből álló n ismeretlenes elsőfokú egyenletrendszerről és a megoldásaikról.[br]
Egyenlőtlenségek, egyenlőségrendszerek
[b][color=#ff0000]Egyenlőtlenség:[/color][/b] bármely két [b]<, >, ≤,≥[/b] jellel összekötött betűkifejezés. A kifejezésekben szereplő változók az ismeretlenek.Az egyenlőtlenség az egyenlethez hasonló fogalom. Csak az a különbség, hogy az egyenlőtlenségben az egyenlőség jele helyett valamilyen egyenlőtlenségjel szerepel.Az egyenlőtlenségekre vonatkozó alapvető fogalmakat ugyanúgy lehet értelmezni, mint az egyenletekét. Így az egyenlőtlenségről is elmondhatjuk, hogy egy olyan speciális változótól függő állítás (nyitott mondat), amelynek az alaphalmaza számhalmaz.[br]Az egyenlőtlenség értelmezési tartománya az alaphalmaznak az a legbővebb részhalmaza, ahol a benne szereplő kifejezések értelmezhetőek. [br]Az egyenlőtlenséget igazzá tévő értékek az egyenlőtlenség megoldásai. Az alaphalmaz azon elemeinek halmaza,amelyekre az egyenlőtlenség igaz, az egyenlőtlenség megoldáshalmaza.
Egyenlőtlenségek megoldási módszerei
Az egyenlőtlenségek és egyenletek hasonlósága miatt az egyenlőtlenségek megoldására ugyanazokat a módszereket alkalmazhatjuk,amelyeket az egyenletek megoldására: pl.: az azonos átalakítást, az egyenlőtlenség két oldalának egyforma változtatását, a grafikus[br]megoldást, a szorzattá alakítást, az új ismeretlen bevezetését.[br]Az egyenletek megoldása során gyakran végzünk olyan átalakításokat, amelyek során a megoldáshalmaz bővülhet, és ilyenkor a ''hamis gyökök'' a kapott gyökök ellenőrzésével szűrjük ki. Egyenlőtlenség megoldása során ez általában azért nem célravezető, mert sok esetben[br]végtelen sok megoldása van, és ezeket nem lehet egyesével végigpróbálni.[br]Az egyenlőtlenség megoldásánál általában arra kell törekednünk, hogy kizárólag ekvivalens átalakításokat hajtsunk végre.[br]Az egyenlőtlenség négyzetre emelése ekvivalens átalakítás, ha mindkét oldal nemnegatív, mivel két nemnegatív szám és a négyzetük közöttugyanaz a nagysági reláció áll fenn, vagyis x ⇒x[br]2 függvény pozitív x értékekre szigorúan monoton nő.[br]Az egyenlőtlenség két oldalának egyforma változtatása ([u]mérlegelv[/u]) alkalmazása során az egyenlőtlenség megoldásainak halmaza nem[br]változik, ha:[br][list][*]az egyenlőtlenség mindkét oldalához ugyanazt a számot hozzáadjuk[br][/*][*]az egyenlőtlenség mindkét oldalát ugyanazzal a pozitív számmal szorozzuk.[br][/*][/list]Ha az egyenlőtlenség mindkét oldalát ugyanazzal a negatív számmal szorozzuk, akkor az ellenkező irányú egyenlőtlenség ekvivalens az eredetivel.