Dans cette activité, nous allons illustrer l'utilité des polynômes du second degré à travers un exemple de sport : le lancer de poids.[br]Pour étudier la trajectoire du poids, on se placera dans un repère orthonormé figuré sur la figure ci-dessus et ci-dessous, l'unité correspond à un mètre.[br]Nous pouvons conjecturer que la trajectoire du poids est une portion de parabole et donc chercher à modéliser la trajectoire par la courbe d'une fonction [math]f[/math] polynôme du second degré où la variable [math]x[/math] représente la distance horizontale parcourue par le poids et [math]f(x)[/math][math][/math] la hauteur du poids correspondant.

[br]

On suppose donc que l'allure de la trajectoire a pour équation [math]y=f(x)[/math] où [math]f[/math] est la fonction définie sur [math]\mathbb{R}[/math] par : [math]f\left(x\right)=ax^2+bx+c[/math] et [i]a[/i], [i]b[/i], [i]c[/i] sont trois réels à déterminer. [br]En faisant varier les curseurs [i]a[/i], [i]b[/i], [i]c[/i], cherchez à obtenir une courbe pour [math]f[/math] qui passe au mieux par les points roses.

L'appliquette ci-dessous va vous permettre de faire du calcul formel pour déterminer les racines, le maximum et la forme canonique de f.[br]Commencez par entrer votre expression de [math]f[/math] en tapant [code]f(x)=[/code]...[br]Info: [math]x^2[/math] se note x^2.

Utilisez la fonction GeoGebra [code]Résoudre(<équation>) [/code]dans le volet calcul formel à gauche pour déterminer à quelle distance du sportif le poids a atterri.

Utilisez ci-dessus la fonction [code]Max[/code] pour déterminer la hauteur maximale atteinte par le poids.[br][code]Max( <Fonction>, <x initial>, <x final> )[/code]

Utilsez la fenêtre de calcul formel ci-dessus pour obtenir la forme canonique de [math]f[/math].[br][code]FormeCanonique( f )[br][/code][code][/code]

Sur le tableau blanc ci dessous, écrire avec l'outil stylo [icon]/images/ggb/toolbar/mode_pen.png[/icon] les formules du cours pour le discriminant [math]\Delta[/math] et pour les racines de l'équation [math]ax^2+bx+c=0[/math] lorsque le discriminant est positif.

Sur le tableau blanc ci dessous, écrire avec l'outil stylo [icon]/images/ggb/toolbar/mode_pen.png[/icon] les étapes de résolution de l'équation:[br] [math]-0,2x^2+1,4x+2,7=0[/math][br]On attend le calcul de [math]\Delta[/math] et des racines.

Utilisez l'appliquette ci dessous pour tracer la courbe de f à partir de sa forme canonique.

Rappeler sur ce croquis où on lit les valeurs de [math]\alpha[/math]et [math]\beta[/math] lorsque la forme canonique est [math]a(x-\alpha)^2+\beta[/math]. Ecrire aussi à combien valent [math]\alpha[/math] et [math]\beta[/math] (environ).