[b][size=100][size=150]三角比の一般化が三角関数（Trigonometry)[br]＜変域の拡張＞[/size][/size][/b][br][size=150][color=#0000ff]角度を単位円での回転角（角度、°,degrees）を[br]回転弧長（弧度,radians）で表現する。[u]あえて[/u]単位をつけるときはラジアン、radを使う。[br][/color][size=100]単位円の中心角360°が２・１・π＝２π（rad）に対応する。角度の１°は2π/360(rad）という長さ、[br]１（ラジアン）の長さは逆数の360/2π（°）という角度に対応する。[br]約分が煩わしいので、180°でπラジアンと覚えた方が速い。[/size][/size][size=150][size=100][br]数Ⅰまでの角度法の[u]０°以上180°以下[/u]は、[u]弧度法の0以上π[/u]（ラジアン）以下にとって代わる。[br]それだけではない。[u]180°以上360°の反時計回りの半円弧[/u]も動かすことが加わる。[br]みかけ上動径OPが０°に見えても、何回転もしているかもしれないし、逆回転も可能。[br]ぐるぐる回っても、整数回転すれば、動径のsin,cos,tanの値は変わらない。[br]時計回りを負の方向として、長さにも負があるという形式にできる。[br]これを弧度法で、０＋2nπ（n=0,+1,-1,+2,-2,.......)（ラジアン）などとかき、[/size][/size][b][size=150][color=#0000ff]一般角[/color][/size][/b][size=150][size=100]という。[br][/size][/size][size=150][b][color=#ff00ff]こうして、[u]すべての実数を三角関数の変域[/u]にすることができる。[br][/color][/b][color=#0000ff][b]一般角はすべての実数にわたるというだけでなく、規則的な解のもたらす土台でもある。[br][/b][/color][/size]・下の半円弧では、[color=#0000ff][b][size=150]sinはｙ座標[/size][/b][/color]なので負になる。[br]・[b][size=150][color=#0000ff]cos[/color][/size][/b]は上下関係なく、[color=#0000ff][b][size=150]ｘ座標と同じ正負[/size][/b][/color]になる。[br]・[b][size=150]tanは傾き[/size][/b]なので、90°の倍数で正負が反転する。[br][color=#0000ff]（例）[/color]cosθ=1/2となるとき、sinθ、tanθは？[br]　cosが正になるのは、単位円のｘ座標だが、ｙ座標は正負どちらも可能。[br]　[math]sin\theta=\pm\sqrt{1-\left(\frac{1}{2}\right)^2}=\pm\frac{\sqrt{3}}{2},tan\theta=\frac{sin\theta}{cos\theta}=\pm\frac{\frac{\sqrt{3}}{2}}{\frac{1}{2}}=\pm\sqrt{3}[/math][br]（例）半径1の円周が2πだから、半径1で中心角θ(rad)の弧長は L=2π･θ/2π=θ。[br]　　　半径rの円周が2πrだから、半径rで中心角θの弧長は L=2πr･θ/2π=θr。[br]　　　半径rの円の面積がπr[sup]2[/sup]だから、半径rで中心角θの面積は S=πr[sup]2[/sup]･θ/2π=1/2θr[sup]2[/sup]=1/2 [i]Lr[/i]。[br]　　　中心角が小さくなくても、扇形の面積を弧Lを底辺、半径ｒを高さとする三角形の面積と[br]　　　同様な式になっているね。 [b][size=100][size=150][br]＜三角比と共通な原則＞[br][/size][/size][/b][math]cos\theta＝\frac{x}{r}.sin\theta=\frac{y}{r},tan\theta=\frac{y}{x}[/math][br]特に、r=1の単位円では動径OPに対して、P＝[math]\left(cos\theta,sin\theta\right)[/math]。OPの傾き＝tanθ[br][math]cos^2\theta+sin^2\theta=1[/math][br]1+tan[sup]2[/sup]θ＝[math]\frac{cos^2\theta+sin^2\theta}{cos^2\theta}=\frac{1}{cos^2\theta}[/math]（[color=#0000ff][b]tanとcosの置き換え[/b][/color]にわりと便利）[br][br][b][size=150]＜よくある弧度と比の確認＞[br][/size][/b]　sin[math]\frac{1\cdot\pi}{6}[/math]＝cos[math]\frac{2\cdot\pi}{6}[/math]=[math]\frac{1}{2}[/math]、sin[math]\frac{\pi}{3}[/math]＝cos[math]\frac{\pi}{6}[/math]=[math]\frac{\sqrt{3}}{2}[/math]。[br] tan[math]\frac{\pi}{6}[/math]=1/tan[math]\frac{\pi}{3}[/math]=[math]\frac{1}{\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}}{3}[/math]、tan[math]\frac{\pi}{3}[/math]=[math]\sqrt{3}[/math]。[br] sin[math]\frac{\pi}{4}[/math]=cos[math]\frac{\pi}{4}[/math]=[math]\frac{1}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}[/math]、tan[math]\frac{\pi}{4}[/math]=[math]\frac{1}{1}[/math]=1。[br]（例）tanθ=3のとき、[math]\frac{1}{1+sin\theta}+\frac{1}{1-sin\theta}[/math]の値は？[br]　[math]\frac{1-sin\theta+1+sin\theta}{\left(1+sin\theta\right)\left(1-sin\theta\right)}=\frac{2}{cos^2\theta}=2\frac{sin^2\theta+cos^2\theta}{cos^2\theta}=2\left(1+tan^2\theta\right)=2\left(1+3\cdot3\right)=20[/math][br]

[b][size=150]＜周期性（periodicity)＞[/size][/b][br][color=#0000ff]　正弦・余弦の周期は360°（２π）で、正接は180°（π）[br][/color]　[math]sin\left(\theta\pm2\pi\right)=sin\theta,cos\left(\theta\pm2\pi\right)=cos\theta[/math][br] tan(θ+π)=tanθ[br][br][b][size=150]＜符号だけ入れ替わるかも系＞[br][/size][/b][color=#0000ff]・ｙ軸対称はπーθ（コサインマイナス）[br][/color] [math]sin\left(\pi-\theta\right)=sin\theta,cos\left(\pi-\theta\right)=-cos\theta,tan\left(\pi-\theta\right)=-tan\theta[/math][br][color=#0000ff]・ｘ軸対称は-θ（サインマイナス）[br][/color]　[math]sin\left(-\theta\right)=-sin\theta,cos\left(-\theta\right)=cos\theta,tan\left(-\theta\right)=-tan\theta[/math][br][color=#0000ff]・原点対称は+π（両方マイナス）[/color][br] [math]sin\left(\theta+\pi\right)=-sin\theta,cos\left(\theta+\pi\right)=-cos\theta,tan\left(\theta+\pi\right)=tan\theta[/math][br][br][b][size=150]＜サインコサイン入れ替わり系＞[/size][/b][br]sinはcosへ、cosはプラマイ逆でsinに。[br][color=#0000ff]・直角三角形のペア角はπ/2-θ[br][/color] [math]sin\left(\frac{\pi}{2}-\theta\right)=cos\theta,cos\left(\frac{\pi}{2}-\theta\right)=sin\theta,tan\left(\frac{\pi}{2}-\theta\right)=\frac{1}{tan\theta}[/math][br][color=#0000ff]・90°回転は＋π/2[br][/color] [math]sin\left(\theta+\frac{\pi}{2}\right)=cos\theta,cos\left(\theta+\frac{\pi}{2}\right)=-sin\theta,tan\left(\theta+\frac{\pi}{2}\right)=-\frac{1}{tan\theta}[/math][br][br][color=#0000ff]（例）[/color]sin(-25°)-cos35°+sin55°-sin205°の値は？[br] -sin25°-sin(180+25)°-cos35°+sin(90-35)°[br]＝-sin25°＋sin25°-cos35°+cos35°＝０[br][color=#0000ff]（例）[/color](cos125°+cos(-35)°)2+2sin35°cos35°の値は？[br] sin35°=y,cos35°=xとすると、ｘ²＋y²＝１。125=35+90。[br]与えられた式は（-sin35°+cos(35)°)[sup]2[/sup]+2xy=(x-y)[sup]2[/sup]+2xy=x[sup]2[/sup]+y[sup]2[/sup]=1[br][br]