[justify]Рассмотрим прямую [math]a[/math] и точку [math]A[/math], не лежащую на этой прямой. Соединим точку [math]A[/math] отрезком с точкой [math]H[/math] прямой [math]a[/math]. Отрезок [math]AH[/math] называется [b]перпендикуляром, проведенным из точки [math]A[/math] к прямой [math]a[/math][/b], если прямые [math]AH[/math] и [math]a[/math] перпендикулярны. Точка [math]H[/math] называется [b]основанием перпендикуляра[/b].[/justify]

[b]Теорема[/b][br][quote]Из точки, не лежащей на прямой, можно провести перпендикуляр к этой прямой, и притом только один.[/quote][url=https://www.geogebra.org/m/pjn7ztrm]Доказательство[/url]

Для проведения на чертеже перпендикуляра из точки к прямой используют чертежный угольник.

[justify]Отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противоположной стороны, называется [b]медианой треугольника[/b].[br][br]Любой треугольник имеет три медианы. На рисунке ниже отрезки [math]AM_1[/math], [math]BM_2[/math], [math]CM_3[/math] — медианы треугольника [math]ABC[/math].[br][/justify]

[justify]Отрезок биссектрисы угла треугольника, соединяющий вершину треугольника с точкой противоположной стороны, называется [b]биссектрисой треугольника[/b].[br][br]Любой треугольник имеет три биссектрисы. На рисунке ниже отрезки [math]CC_1[/math], [math]DD_1[/math], и [math]EE_1[/math] — биссектрисы треугольника [math]CDE[/math].[/justify]

[justify]Перпендикуляр, проведенный из вершины треугольника к прямой, содержащей противоположную сторону, называется [b]высотой треугольника[/b].[br][br]Любой треугольник имеет три высоты. На рисунке ниже в отрезки [math]AH_1[/math], [math]BH_2[/math], [math]CH_3[/math] — высоты треугольника [math]ABC[/math].[br][/justify]

Медианы, биссектрисы и высоты треугольника обладают замечательными свойствами:[br][quote]в любом треугольнике медианы пересекаются в одной точке: биссектрисы пересекаются в одной точке; высоты или их продолжения также пересекаются в одной точке.[/quote]Эти утверждения мы докажем в VIII классе.

[justify]Треугольник называется [b]равнобедренным[/b], если две его стороны равны. Равные стороны называются [b]боковыми сторо[/b][b]нами[/b], а третья сторона - [b]основанием[/b] равнобедренного треугольника.Треугольник, все стороны которого равны, называется [b]равносторонним[/b].[br][br]Докажем две теоремы о свойствах равнобедренного треугольника.[br][br][b]Теорема[/b][br][/justify][quote]В равнобедренном треугольнике углы при основании равны.[/quote][url=https://www.geogebra.org/m/ene5jtzu]Доказательство[/url]

[b]Теорема[br][/b][quote]В равнобедренном треугольнике, биссектриса опущенная к основанию, является медианой и высотой.[/quote][url=https://www.geogebra.org/m/m2xgbqmx]Доказательство[/url]

Мы установили, что биссектриса, медиана и высота равнобедренного треугольника, проведенные к основанию, совпадают. Поэтому справедливы также утверждения:[br][quote]1. Высота равнобедренного треугольника, проведенная к основанию, является медианой и биссектрисой.[br]2. Медиана равнобедренного треугольника, проведенная к основанию, является высотой и биссектрисой.[/quote]

[justify]100. Начертите прямую [math]a[/math] и отметьте точки [math]A[/math] и [math]B[/math], лежащие по разные стороны от прямой [math]a[/math]. С помощью чертежного угольника проведите из этих точек перпендикуляры к прямой [math]a[/math].[br][br]101. Начертите треугольник. С помощью масштабной линейки отметьте середины сторон и проведите медианы треугольника.[br][br]102. Начертите треугольник. С помощью транспортира и линейки проведите его биссектрисы.[br][br]103. Начертите треугольник [math]ABC[/math] с тремя острыми углами и треугольник [math]MNP[/math], у которого угол [math]M[/math] тупой. С помощью чертежного угольника проведите высоты каждого треугольника.[br][br]104. Начертите три равнобедренных треугольника так, чтобы угол, лежащий против основания, был:[br] а) острым; [br] б) прямым; [br] в) тупым.[/justify]

[justify][/justify][size=100][justify]105. Точки [math]А[/math] и [math]С[/math] лежат по одну сторону от прямой [math]а[/math]. Перпендикуляры [math]АВ[/math]и [math]CD[/math]к прямой а равны.[br] а) Докажите, что [math]\angle ABD=\angle CDB[/math];[br] б) найдите [math]\angle ABC[/math], если [math]\angle ADB=44^\circ[/math].[br][br]106. Медиана [math]АР[/math]треугольника [math]АВС[/math] продолжена за сторону [math]ВС[/math] на отрезок [math]DE[/math], равный [math]AD[/math], и точка [math]Е[/math] соединена с точкой [math]С[/math]. [br] а) Докажите, что [math]\Delta ABD=\Delta ECD[/math];[br] 6) найдите [math]\angle ACE[/math], если [math]\angle ACD=56^\circ,\angle ABD=40^\circ[/math].[br][br]107. В равнобедренном треугольнике основание в два раза меньше боковой стороны, а периметр равен 50 см. Найдите стороны треугольника.[br][br]108. Периметр равнобедренного треугольника [math]АВС[/math] с основанием [math]ВС[/math] равен 40 см, а периметр равностороннего треугольника [math]BCD[/math] равен 45 см. Найдите стороны [math]АВ[/math] и [math]ВС[/math].[br][br]109. В равнобедренном треугольнике [math]АВС[/math] с основанием [math]ВС[/math] проведена медиана [math]АМ[/math]. Найдите медиану [math]АМ[/math], если периметр треугольника [math]АВС[/math] равен 32 см, а периметр треугольника [math]АВМ[/math] равен 24 см.[br][br]110. Докажите, что если медиана треугольника совпадает с его высотой, то треугольник равнобедренный.[br][br]111. На рисунке [math]CD=BC,\angle1=\angle2[/math]. Докажите, что треугольник [math]АВС[/math] равнобедренный.[/justify][/size]

112. На рисунке [math]AB=BC,\angle1=130^\circ[/math]. Найдите [math]\angle2[/math].

113. Точки [math]М[/math] и [math]Р[/math] лежат по одну сторону от прямой [math]b[/math]. Перпендикуляры [math]MN[/math] и [math]PQ[/math], проведенные к прямой [math]b[/math], равны. Точка [math]О[/math] — середина отрезка [math]NQ[/math]. [br] а) Докажите, что [math]\angle OMP=\angle OPM[/math]; [br] 6) найдите [math]\angle NOM[/math], если [math]\angle MOP=105^\circ[/math].[br][br]114. Докажите, что в равных треугольниках медианы, проведенные к равным сторонам, равны.[br][br]115. Медиана [math]АМ[/math] треугольника [math]АВС[/math] равна отрезку [math]ВМ[/math]. Докажите, что один из углов треугольника [math]АВС[/math] равен сумме двух других углов.[br][br]116. Докажите, что в равностороннем треугольнике все углы равны.[br][br]117. На рисунке [math]AB=BC,CD=DE[/math]. Докажите, что [math]\angle BAC=\angle CED[/math].

[justify]118. На основании [math]ВС[/math] равнобедренного треугольника [math]АВС[/math] отмечены точки [math]М[/math] и [math]N[/math] так, что [math]BM=CN[/math]. Докажите, что: [br] а) [math]\Delta BAM=\Delta CAN[/math]; [br] б) треугольник [math]AMN[/math] равнобедренный.[br][br]119. В равнобедренном треугольнике [math]DEK[/math] с основанием [math]DK=16[/math]см отрезок [math]EF[/math] — биссектриса, [math]\angle DEF=43^\circ[/math]. Найдите [math]KE[/math], [math]\angle DEK[/math], [math]\angle EFD[/math].[br][br]120. В равнобедренном треугольнике [math]ABC[/math] с основанием [math]AC[/math] проведена медиана [math]BD[/math]. На сторонах [math]AB[/math] и [math]CB[/math] отмечены соответственно точки [math]E[/math] и [math]F[/math] так, что [math]AE=CF[/math]. Докажите, что: [br] а) [math]\Delta BDE=\Delta BDF[/math]; [br] б) [math]\Delta ADE=\Delta CDF[/math].[/justify]