Chama-se arco de cicloide a curva definida por um ponto de uma circunferência que rola sem deslizar sobre uma reta, até que esse ponto chegue na posição da qual partiu. As equações paramétricas desse arco são:[br][math]x=r\left(\theta-sen\left(\theta\right)\right)[/math][br][math]y=r\left(1-cos\left(\theta\right)\right)[/math][br]Onde [math]r>0[/math] é o raio da circunferência e [math]\theta\in\left[0,2\pi\right][/math]. Abaixo, você encontra um exemplo de arco de cicloide, considerando uma circunferência com [math]r=1[/math]. Varie [math]\theta[/math] e observe a trajetória de [math]P[/math].

Finalmente, a cicloide seria permitir que a circunferência role indefinidamente, tanto para a direita, quanto para a esquerda. E assim, suas equações paramétricas são:[br][math]x=r\left(t-sen\left(t\right)\right)[/math][br][math]y=r\left(1-cos\left(t\right)\right)[/math][br]Onde [math]r>0[/math] é o raio da circunferência e [math]t\in\mathbb{R}[/math]. Abaixo, você encontra a curva da Cicloide. Poderá mudar o raio da circunferência e variar o parâmetro, para ver a trajetória do ponto [math]P[/math].

Você já ouviu falar do problema da [b]Braquistócrona[/b]? O enunciado é basicamente o seguinte:[i][br]Considerando uma partícula que, sujeita a um campo gravitacional constante, sem atrito e com velocidade inicial nula, se desloca entre dois pontos (alturas diferentes) no menor intervalo de tempo, qual será a trajetória da partícula?[br][/i]E a resposta é justamente a curva chamada braquistócrona, que corresponde ao arco da cicloide, e não uma reta, como normalmente pensaríamos. Note que o problema não menciona sobre o caminho mais curto, mas sobre o mais rápido.