Verschiebung in y-Richtung

Hier soll untersucht werden, wie der Parameter e die Lage einer Parabel zur Funktion f(x) = x² + e und ihres Scheitelpunktes S gegenüber dem Graphen der Quadratfunktion f(x) = x² (Normalparabel) verändert. [br][br][list][*]Stelle den roten Schieberegler so ein, dass die Graphen der Funktion f(x) = x² + 2 (e = 2) und f(x) = x² - 1 (e = -1) gezeichnet werden.[/*][/list][list][*]Überlege, wie die Funktionswerte der beiden Funktionen von den Funktionswerten der Quadratfunktion abhängen und [color=#0000ff]ergänze die beiden Aussagen auf dem Arbeitsblatt 1[/color].[br][/*][/list][br][list][*][color=#0000ff]Übertrage die Graphen dieser Funktionen (mit Hilfe der Parabelschablone) in das Koordinatensystem auf dem Arbeitsblatt 1[/color].[/*][/list]
Variiere den Wert von e mit Hilfe des roten Schiebereglers beliebig![br][br]Betrachte jeweils die Graphen und nutze Deine Beobachtungen, [color=#0000ff]um Satz 1 und die anschließenden Überlegungen zu den Nullstellen zu vervollständigen[/color].[br][br]

Verschiebung in x-Richtung

Nun wird untersucht, wie der Parameter d die Lage einer Parabel zur Funktion f(x) = (x + d)² und ihres Scheitelpunktes S gegenüber dem Graphen der Quadratfunktion f(x) = x² (Normalparabel) verändert. [br][br][list][*]Stelle den roten Schieberegler so ein, dass die Graphen der Funktion f(x) = (x + [math]\frac{1}{2}[/math])² (d = [math]\frac{1}{2}[/math]) und f(x) = (x - 3)² (d = -3) gezeichnet werden.[/*][/list][list][*]Überlege, wie die Funktionswerte der beiden Funktionen von den Funktionswerten der Quadratfunktion abhängen und [color=#0000ff]ergänze die beiden Aussagen zu diesen Funktionen auf dem Arbeitsblatt 2[/color].[br][/*][/list][br][list][*][color=#0000ff]Übertrage die Graphen dieser Funktionen (mit Hilfe der Parabelschablone) in das Koordinatensystem auf dem Arbeitsblatt 2[/color].[/*][/list]
Variiere den Wert von d mit Hilfe des roten Schiebereglers beliebig![br][br]Betrachte jeweils die Graphen und nutze Deine Beobachtungen, [color=#0000ff]um Satz 2 zu vervollständigen[/color].
[color=#0000ff]Bearbeite die weiteren Aufgaben auf dem Arbeitsblatt 2.[/color]

Funktionen der Form x -> x² + bx + c

Es werden die Graphen von Funktionen der Form f(x) = x[sup]2[/sup] + bx + c betrachtet und untersucht wie Paramenter b und c die Lage der Graphen gegenüber der Normalparabel der Funktion x[sup]2[/sup] verändern.[br][br][list][*]Stelle den blauen und grünen Schieberegler so ein, dass die Graphen der Funktion f(x) = x² + 4x +7 (b = 4 und c = 7) gezeichnet wird.[/*][/list][br][list][*]Überlege, wie der Graph der Funtion f durch eine Verschiebung parallel zur x-Achse und eine Verschiebung parallel zur y-Achse aus der Normalparabel hervorgeht und [color=#0000ff]ergänze die die entsprechenden Aussagen zu den Verschiebungen auf dem Arbeitsblatt 3[/color].[/*][/list][br][list][*][color=#0000ff]Zeichne den Graphen der Funktion f(x) = x² + 4x +7 (mit Hilfe der Parabelschablone) in der Koordinatensystem auf dem Arbeitsblatt 3 und Veranschauliche die Verschiebung des Scheitels durch das Einzeichnen geeigneter Pfeile.[/color][/*][/list]
[list][*][color=#0000ff]Erstelle aufgrund dieser Überlegungen eine gleichwertige Funktionsvorschrift in der "Scheitelform" x [math]\mapsto[/math] (x + d)[sup]2[/sup] + e an der entsprechenden Stelle auf dem Arbeitsblatt 3.[/color][/*][/list][br][list][*][color=#0000ff]Ergänze den Satz 3 auf dem Arbeitsblatt 3.[/color][/*][/list][br][list][*][color=#0000ff]Schaue Dir sorgfältig die "Umformung in Scheitelform" und das gegebene Beispiel auf dem Arbeitsblatt 3 an.[/color][color=#0000ff][br][/color][/*][/list]
[list][*]Falls Du die Umformung noch nicht wirklich verstanden hast, kannst Du dir auch das folgende Erklärvideo [b]mit Kopfhörern[/b] anschauen.[br][/*][/list]
[list][*][color=#0000ff]Löse die Übungsaufgabe auf dem dem Arbeitsblatt 3.[/color][/*][/list][list][*][color=#0000ff][color=#0000ff][color=#000000]Verändere die Werte von b und c beliebig über die Schieberegler und überlege Dir, welchen Einfluss dies auf die Nullstellen des Graphen hat[/color]. Ergänze die Bemerkung auf dem Arbeitsblatt 3.[/color][br][/color][/*][/list]

Anschauliche Einführung

Stell dir vor, wir zeichnen ein Koordinatensystem auf ein Papier. Auf dem Papier liegt eine durchsichtige Gummifolie, auf die die Parabel gezeichnet wurde. Diese Folie ist mit ihrer Unterkante an der x-Achse festgeklebt. Also ungefähr so:[br][img]data:image/png;base64,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[/img][br]Jetzt stell dir vor, wir legen die Folie flach auf das Papier und gucken alles genau von oben an. Dann sieht es so aus (Die blaue Fabrbe der Folie wurde jetzt weggelassen):

Allgemeine quadratische Funktion

[list][*]Zeichne durch Ändern der Schieberegler den Graphen der Funktion f(x) = 2x[sup]2[/sup] - 12x + 20.[/*][/list]
[list][*][color=#0000ff]Forme auf dem Arbeitsblatt 5 [color=#0000ff]die Funktion f(x) = 2x[sup]2[/sup] - 12x + 20[/color] durch Ausklammern und quadratischer Ergänzung auf die Form f(x) = a(x + d)[sup]2[/sup] + e um.[/color][br][/*][/list][br][list][*][color=#0000ff][color=#000000]Solltest Du nicht mehr wissen, wie dies funktioniert, bearbeite die drei unten folgenden Erkärungen.[/color][/color][/*][/list][br][list][*][color=#0000ff]Ergänze die Aussagen über die Gestalt und Lage des Graphen der obigen Funktion [/color][color=#0000ff][color=#0000ff][color=#0000ff]f(x) = 2x[sup]2[/sup] - 12x + 20 auf dem Arbeitsblatt 5.[/color][/color][/color][/*][/list][br][list][*][color=#0000ff]Übertrage den Graphen der Funktion [color=#0000ff][color=#0000ff]f(x) = 2x[sup]2[/sup] - 12x + 20[/color][/color] in das Koordinatensystem auf dem Arbeitsblatt 5.[/color][/*][/list][br][list][*][color=#0000ff]Löse die Übungsaufgabe auf dem Arbeitsblatt 5.[br][/color][/*][/list]
[u]Drei Erklärungen zur Scheitelpunktbestimmung:[/u]
[u]Erklärung zum Zeichnen gestreckter Parabeln[br][br][/u]Erst den Scheitelpunkt einzeichnen (hier schon erledigt) und dann von dort aus eine gestreckte Parabel aufbauen, so wie in dem folgenden Bild erklärt. Klicke nacheinander die Kästchen an.

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