[url=https://mategnu.de/m/2/rp2.pdf][img]https://mategnu.de/bilder/modul_2/reihenuebersicht/m2ph6.jpg[/img][/url][br][br][b][size=150][color=#FFA252]Leitfrage zu Phase 6[/color][/size][/b][br]Wie kann ich den Bestand aus einer nicht linearen Änderungsratenfunktion [b]beliebig genau bestimmen[/b]?

[b][size=150][color=#FFA252]Integrale numerisch annähern und mit GeoGebra bestimmen[/color][/size][/b][br]Ganz analog zum Vorgehen bei der genauen Bestimmung der Ableitung beim Gepard betrachten die SuS nun die infinitesimale Annäherung und den Grenzwert aus beiden Richtungen.[br]Für Teilintervalle mit [b]positiven [/b]Änderungsraten (Flächen oberhalb der x-Achse): [br][list][*] überschätzen sie die Änderungsrate im Teilintervall und überdecken Fläche zwischen dem Graph der Änderungsfunktion und der x-Achse komplett mit Rechteckstreifen (Obersumme) [/*][*] unterschätzen sie die Änderungsrate im Teilintervall und passen die Rechteckstreifen komplett in die Fläche zwischen dem Graph der Änderungsfunktion und der x-Achse ein (Untersumme)[/*][/list]und vergrößern die Unterteilung des Intervalls in Teilintervalle in beiden Fällen beliebig fein.[br][br]Für Teilintervalle mit [b]negativen [/b]Änderungsraten (Flächen unterhalb der x-Achse): [br][list][*] überschätzen sie die Änderungsrate im Teilintervall (mit betragsmäßig kleinerem Wert) und passen die Rechteckstreifen komplett in die Fläche zwischen dem Graph der Änderungsfunktion und der x-Achse ein (Obersumme) [/*][*] unterschätzen sie die Änderungsrate im Teilintervall (mit betragsmäßig größerem Wert) und überdecken Fläche zwischen dem Graph der Änderungsfunktion und der x-Achse komplett mit Rechteckstreifen (Untersumme)[/*][/list]und vergrößern die Unterteilung des Intervalls in Teilintervalle in beiden Fällen beliebig fein.[br][br]Sie nutzen dazu das Applet [color=#095EBC][url=https://www.geogebra.org/m/nxxgghx3#material/hphzndud]M2.II.6a App Grenzwert Wassermenge[/url][/color] im digitalen Arbeitsblatt [br][img]https://mategnu.de/bilder/icons/Lernumgebung_30.jpg[/img][b][color=#095EBC][url=https://www.geogebra.org/m/nxxgghx3#material/j9he9uwn]M2.II.6a AB Genaue Wassermenge[/url][/color][/b].[br][br]Aufbauend auf der Bearbeitung des Applets (und der Sicherung der Erkenntnisse durch die Verständnisfragen im AB) kann das bestimmte Integral definiert werden:[br][url=https://juergen-roth.de/vortraege_material/2025/MaTeGnu_K1_M2_Integralrechnung.pdf#page=24][img]https://mategnu.de/bilder/modul_2/folien/definition_bestimmtes_integral_und_integrierbarkeit_klein.jpg[/img][/url] [url=https://mategnu.de/bilder/modul_2/folien/definition_bestimmtes_integral_und_integrierbarkeit.jpg][img]https://mategnu.de/bilder/icons/Lupe_30.jpg[/img][/url][br][br]Im Unterricht sollten die folgenden Aspekte herausgestellt werden:[br]Das Integral zwischen [b]a[/b] und [b]b[/b] über der Änderungsratenfunktion [math]f[/math] [list][*]schreibt man [math]\int_{b}^{a}f(x)dx[/math][/*][*]gibt den orientierten Flächeninhalt zwischen [math]f[/math] und der [math]x[/math]-Achse an[/*][*]ist der Grenzwert von Produktsummen mit der Näherung der Änderungsratenfunktion durch konstante Änderungsraten in Teilintervallen (graphisch gedeutet in Rechtecksummen).[/*][/list][br]Mit dem Applet [color=#095EBC][url=https://www.geogebra.org/m/nxxgghx3#material/btmexhk9]*M2.II.6b App Definition Integral[/url][/color] im digitalen Arbeitsblatt[br][img]https://mategnu.de/bilder/icons/Lernumgebung_30.jpg[/img][b][color=#095EBC][url=https://www.geogebra.org/m/nxxgghx3#material/mtegnneh]*M2.II.6b AB Bestimmtes Integral[/url][/color][/b][br]lassen sich diese Aspekte nochmals verdeutlichen.

[b][size=150][color=#FFA252]Integral als orientierten Flächeninhalt[/color][/size][/b][br]Das Applet [color=#095EBC][url=https://www.geogebra.org/m/nxxgghx3#material/btmexhk9]*M2.II.6b App Definition Integral[/url][/color] ermöglicht es auch negative Flächeninhalte zu erzeugen und rückt so die Grundvorstellung des orientierten Flächeninhalts in den Fokus. Mit dem AB und Applet sollten erneut auf die [list][*]Bedeutung von Flächen unterhalb der x-Achse und[/*][*]Fälle mit Null als Wert des bestimmten Integrals[/*][/list]eingegangen werden.[br]

[b][size=150][color=#FFA252]Zeitbedarf[/color][/size][/b][br]2h + Zeit für Übungen

[b][size=150][color=#FFA252]Übungsaufgaben[/color][/size][/b][br]Fundamente, RLP, LK (2023, Band 1): S. 188-192[br]Fundamente, RLP, GK (2023, Band 1): S. 172-175[br]Elemente der Mathematik, RLP, LK (2017): S. 206/207[br]Elemente der Mathematik, RLP, GK (2017): S. 164/165[br]Lambacher Schweizer, RLP, LK (2022): 163/164