Visualisierung des numerischen Verfahrens zur Identifizierung der Art der Extrema von Funktionen mit zwei Variablen auf einer Konturkarte (Contour Map)

[size=85] Für die Funktion f(x,y) mit zwei Variablen auf einer Konturkarte wird ein numerisches Verfahren zur Bestimmung der Art der Extrema ohne Verwendung der Ableitungen vorgeschlagen.[br] Die Analyse basiert auf der zusammengesetzten Funktion [color=#9900ff]Δf(α)[/color] - Änderungen der Funktion f(x,y) für die entsprechenden Punkte auf den Kreisen (r; α) und (r+Δr; α). Das Applet bestimmt Bereiche monotoner Zunahme oder Abnahme für die untersuchten Funktion f(x,y) auf einem Testkreis, der um einen kritischen Punkt auf der Konturkarte beschrieben wird. [br] ✱Wenn [color=#9900ff]Δf(α)<0[/color] für α∈[0,2 π ], dann [color=#0000ff]nimmt[/color] f(x,y) an den Enden der Radien r und r+Δr der Kreise (für jedes α) [color=#0000ff]ab[/color], d.h. es gibt ein [color=#ff0000]lokales Maximum[/color] in ihrem Zentrum.[br] ✱Wenn [color=#9900ff]Δf(α)>0[/color] für α∈[0,2 π ], dann [color=#ff0000]nimmt[/color] f(x,y) an den Enden der Radien r und r+Δr der Kreise (für jedes α) [color=#ff0000]zu[/color], d.h. es gibt ein l[color=#0000ff]okales Minimum[/color] in ihrem Zentrum.[br] ✱Wenn [color=#9900ff]Δf(α)[/color] für [color=#9900ff]α∈[0,2 π ][/color], eine alternierende Funktion mit Nullstellen (in der Farbe „[color=#1e84cc]Deep Sky Blue[/color]“) ist, dann hat f(x,y) [color=#ff0000]steigende[/color] und [color=#0000ff]fallende[/color] Funktionsabschnitte an den Rändern dieser Kreise, d.h. es gibt einen [color=#00ff00]Sattelpunkt[/color] in der Mitte dieser Kreise. In der Nähe dieses Punktes hat die Fläche die Form eines Sattels um den kritischen Punkt: - [i]konkav nach oben[/i] in einer Richtung, - [i]konkav nach unten[/i] in einer anderen Richtung. 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[/img][br][/size][size=85]*Das Applet bietet die Möglichkeit, die Genauigkeit dieser Berechnungen zu überprüfen, indem die berechneten Monotoniegrenzen verfolgt werden (Schaltfläche "Trace On").[br]**Im Fall von Index=1 ist es möglich, Funktionen aus dem Eingabefeld einzugeben.[/size][br]
Funktionsgraphen (index=3) mit gleichem Konturdiagramm: f(x,y)=(x²-y²)ᴷ für k=1 und k=2
[size=85]1. Konzentrische geschlossene Konturlinien zeigen immer entweder ein [color=#0000ff]lokales Minimum[/color] oder ein [color=#ff0000]lokales Maximum[/color] an. [br] Kritische Punkte, die kein [color=#ff0000]lokales Maximum[/color] oder [color=#0000ff]Minimum [/color]sind, sind meistens [color=#6aa84f]Sattelpunkte[/color]. Es ist eine Kreuzung zweier Konturlinien von f(x,y). Die Oberfläche hat die Form eines [color=#6aa84f]Sattels[/color] um den kritischen Punkt: – [i]konkav[/i] [i]nach oben[/i] in eine Richtung, –[i] konkav nach unten[/i] in eine andere.[br]2. Wenn eine Konturlinie sich selbst schneidet, könnte der Punkt ein[br]★ [color=#6aa84f]Sattelpunkt[/color],[br]★ [color=#0000ff]lokales Minimum[/color] oder[br]★ [color=#ff0000]lokales Maximum[/color] sein.[br] Hier ist ein Paar Funktionsgraphen mit demselben Konturdiagramm. In der Abbildung werden zwei Fälle für Index=3 betrachtet:[br] (a) für k=1 Hyperbolic paraboloid: z=x[sup]2[/sup]-y[sup]2 [/sup]und [br] (b) für k=2 z=(x[sup]2[/sup]-y[sup]2[/sup])[sup]2[/sup].[br]Für eine Diskussion siehe den Artikel "[url=https://math.stackexchange.com/questions/3345225/how-to-read-contour-plot]How to read contour plot[/url]?".[br]Ein ähnlicher Fall ergibt sich für den Fall Index=1: z=x y und z=(x y)[sup]2 [/sup]. Sie können sich selbst ein Bild von diesem Fall machen, indem Sie den Sattelpunkt auf ein[color=#ff0000] lokales Maximum [/color]setzen. [/size]
Beispiel (index=7): f(x,y)=x⁶+y⁶-15(x²+y²)
[size=85]In diesem Beispiel gibt es [b]einen [/b]Punkt mit [color=#ff0000]lokalem Maximum[/color], [b]drei[/b] Punkte mit [color=#ff0000]lokalem Minimum[/color] und [b]drei[/b] [color=#00ff00]Sattelpunkte[/color].[/size]
Beispiel (index=8): f(x,y)=3(1-x²) exp(-(x-0.5)²-(y+1)²)-2(0.2x-x³-y⁵)exp(-x²-y²)sin(x-y)
Beispiel (index=9): Ist N ein Sattelpunkt?
[size=85]Is [color=#00ff00]N[/color] a [color=#00ff00]saddle point[/color] here?[br][url=https://www.wolframalpha.com/input?i=%28x%5E2%2B+y%5E2%29%5E2%2B3+x%5E2+y-+y%5E3+]https://www.wolframalpha.com/input?i=%28x%5E2%2B+y%5E2%29%5E2%2B3+x%5E2+y-+y%5E3+[/url][br] f(x, y) = (x² + y²)² + 3x² y - y³;[br] f[sub]x[/sub] (x,y)=4x³+2xy(2y+3);[br] f[sub]y[/sub](x,y)=x²(4y+3)+y²(4y-3); [br] f[sub]xx[/sub](x,y)=12x² + 4y² + 6 y;[br] f[sub]xy[/sub](x,y)=8 xy+6 x;[br] f[sub]yx[/sub](x,y)=8 xy+6 x;[br] f[sub]yy[/sub](x,y)=4x²+12y²-6y;[br] D(x,y)=|f[sub]xx[/sub]*f[sub]yy[/sub]-f[sub]xy[/sub]*f[sub]yx[/sub]|;[br]D(x,y)= (12x² + 4y² + 6y) (4x² + 12y² - 6y) - (8x y + 6x)² =[br]=12 (4x⁴ + 8x² y² - 12x² y - 3x² + 4y⁴ + 4y³ - 3y²);[br]⇒f[sub]x[/sub](0,0)=0; f[sub]y[/sub](0,0)=0 ; D(0,0)=0[br]Regarding the case D=0 in the literature we have ambiguous arguments:[br][url=https://en.wikipedia.org/wiki/Second_partial_derivative_test]https://en.wikipedia.org/wiki/Second_partial_derivative_test[/url][br]... critical point (0, 0) the second derivative test is insufficient, and [i]one must use higher order tests or other tools to determine the behavior of the function[/i] at this point. ([b]In fact[/b], one can show that f takes both [color=#ff0000]positive[/color] and [color=#0000ff]negative[/color] values in small neighborhoods around (0, 0) and so [b]this point is a[color=#00ff00] saddle point [/color]of f.[/b])[/size]
Schema zur Berechnung stationärer Punkte Funktion 2 Variablen
[size=85]From [url=https://ayraethazide.tumblr.com/post/74061500099/here-are-some-notes-on-the-classification-of]https://ayraethazide.tumblr.com/post/74061500099/here-are-some-notes-on-the-classification-of[br][/url] Eine detaillierte Lösung des Problems für den Fall index=10 gemäß dem obigen Diagramm wird ausführlich in [url=https://socratic.org/questions/what-are-the-extrema-and-saddle-points-of-f-x-y-f-x-y-xy-1-x-y]Calculus[/url] "What are the extrema and saddle points of f(x,y)=xy(1−x−y)?" besprochen.[/size]

Information: Visualisierung des numerischen Verfahrens zur Identifizierung der Art der Extrema von Funktionen mit zwei Variablen auf einer Konturkarte (Contour Map)