만델브로 집합 [math]M[/math]은 [math]z_1=0[/math], [math]z_{n+1}=z_n^2+c[/math]으로 정의된 복소수열 [math]\left\{z_n\right\}[/math]이 다음 조건을 만족시키는 복소수 [math]c[/math]의 집합이다.[br] 적당한 양수 [math]R[/math]가 존재하여 모든 자연수 [math]n[/math]에 대하여 [math]\left|z_n\right|< R[/math]이다.[br]예를 들어, [math]c=0[/math]이면 [math]z_1=z_2=z_3=\cdots=z_n=\cdots=0[/math]이므로 [math]0[/math]은 만델브로 집합의 원소다.[br][br]다음의 정리는 만델브로 집합 [math]M[/math]을 나타내는데 매우 중요하다.[br] [math]f\left(z\right)=z^2+c[/math]에 대하여 [math]\left|c\right|>2[/math]이면 [math]c\notin M[/math]

지오지브라 클래식5를 이용하여 만델브로 집합을 나타내어보자.[br][list=1][*]입력창에 다음과 같이 입력하여 함수 g(x), h(x)를 만든다.[br]　[b]g(x)=-2+0.025(x-161floor(x/161))[/b][br]　[b]h(x)=-2+0.025floor(x/161)[br][/b]함수 g(x), h(x)는 보이지 않게 설정한다.[/*][*][b]슬라이더[/b] [icon]/images/ggb/toolbar/mode_slider.png[/icon] 도구를 이용하여 최솟값 0, 최댓값 161^2-1, 증가 1, 속도 1/50인 수 t를 만든다.[/*][*]입력창에 다음과 같이 입력하여 복소수 c을 만든다.[br]　[b]c=g(t)+h(t)i[/b][/*][*]입력창에 다음과 같이 입력하여 복소함수 [math]f\left(x\right)=x^2+c[/math]를 만든다.[br]　[b]f(x)=x^2+c[/b][/*][*]스프레드시트창의 A1셀에 다음과 같이 입력하여 복소수 [math]0[/math]을 만든다.[br]　[b]=0i[/b][/*][*]스프레드시트창의 A2셀에 다음과 같이 입력한다.[br]　[b]=f(A1)[/b][/*][*]스프레드시트창의 B1셀에 다음과 같이 입력한다.[br]　[b]=조건(abs(A1)<=2,1,0)[/b][/*][*]스프레드시트창의 A2셀에 오른쪽 아래를 끌어내려 A30셀까지 자동채우기를 한다.[/*][*]스프레드시트창의 B1셀의 오른쪽 아래를 끌어 올려 B30셀까지 자동채우기를 한다.[/*][*]스프레드시트창의 A1:A30 배열을 선택한 후, 마우스를 우클릭하여 나타나는 메뉴에서 [b]대상 보이기[/b]를 해제한다.[/*][*]복소수 c의 설정사항-[고급 기능]-[동적 색상]의 빨강, 녹색, 파랑에 다음과 같이 입력한다.[br]　빨강: [b]조건(곱(B1:B30)==1,0,합(B1:B30)/30)[br][/b]　녹색: [b]조건(곱(B1:B30)==1,0,sqrt([b]합(B1:B30)/30)[/b])[br][/b]　파랑: [b]조건(곱(B1:B30)==1,0,1)[/b][b][br][/b][/*][*]복소수 c를 우클릭하여 나타나는 메뉴에서 [b]자취 보이기[/b]를 활성화한다.[/*][*]슬라이더 t를 우클릭하여 나타나는 메뉴에서 [b]애니메이션 시작[/b]을 선택하여 만델브로 집합을 관찰하자.[/*][/list]

아래 링크를 통해 만델브로 집합을 살펴볼 수 있는 사이트로 이동하여 만델브로 집합에 포함되는 복소수 [math]c[/math]의 궤도를 확인해보고, 아래 지오지브라 애플릿을 통해 실제로 궤도가 사이트에서 보여준 것과 같이 나타나는지 확인해보자.[br][br][url=https://www.dynamicmath.xyz/complex/mandelbrotexplorer/][color=#ff0000]Mandelbrot Set explorer 사이트 바로가기[/color][/url]

아래 링크를 통해 만델브로 집합과 줄리아 집합의 관계를 살펴볼 수 있는 사이트로 이동하여 두 집합 사이의 관계를 탐구해보자. [br][list][*]복소수 [math]c[/math]가 만델브로 집합에 포함되는지 아닌지에 따라 줄리아 집합을 나타낸 이미지가 어떻게 바뀌는지 관찰해보자.[/*][*]복소수 [math]c[/math]의 궤도에 따라 줄리아 집합의 모양이 어떻게 되는지 관찰해보자.[br][br][/*][/list][color=#ff0000][url=https://wb-magalhaes.firebaseapp.com/projects/mandelbrot]Mandelbrot and Julia set 관계 탐구 사이트 바로가기[/url][/color]