Ara volem calcular l'àrea de la superfície de revolució generat per una funció al pla girant-la al voltant de l'eix de les X's.[br]Si la funció ve definida per [math]y=f\left(x\right)[/math] , només ens cal calcular la següent integral entre els dos valors de [math]x\in\left[a,b\right][/math]pels que volem calcular l'àrea de la superfície de revolució[center][br][math]Àrea=\int_a^b2\pi f\left(x\right)\sqrt{\left[f\left(x\right)'\right]^2+1}dx[/math][/center]

Per calcular l'àrea lateral d'un cilindre de llargada h=5cm i radi r=1cm, només ens cal desplegar-lo com si fos un rectangle de costats [math]5[/math]cm i [math]2\pi\cdot r=2\pi\cdot1=2\pi\approx6,28[/math]cm, és a dir, una [math]Àrea=5\cdot2\pi=10\pi\approx31,40[/math]cm²[br][br]Si ho considerem com una superfície de revolució, com la funció constant [math]f\left(x\right)=1[/math] des de 0 a 5, la qual es revoluciona al voltant de l'eix de les X's, obtenim el mateix cilindre.[br]Si ara apliquem la fórmula per calcular-ne l'àrea, si considerem que [math]f'\left(x\right)=0[/math] obtenim el següent:[br][math]Àrea=\int_a^b2\pi f\left(x\right)\sqrt{\left[f'\left(x\right)\right]^{\:2}+1}dx=\int_0^52\pi\sqrt{0^2+1}dx=2\pi\cdot5=10\pi[/math][br][br]Amb GeoGebra només ens caldrà tenir definida la funció[math]f\left(x\right)=1[/math][br]I demanar que ens calculi la integral següent:[br][math]Integral\left(2\pi f\cdot\sqrt{\left[Derivada\left(f\right)\right]^2+1},0,5\right)\approx31,40[/math]cm²

Per calcular l'àrea lateral d'un con de llargada h=2cm i radi r=2cm, només ens cal desplegar-lo i aplicar la fórmula tradicional, que és [math]Àrea=\pi\cdot r\cdot g[/math] on g és la generatiu. En el nostre cas la generatriu, per Pitàgores, és [math]g=2\sqrt{2}[/math], per tant, l'àrea lateral del con serà [math]Àrea=\pi\cdot2\cdot2\sqrt{2}=4\pi\sqrt{2}\approx17,77[/math]cm²[br][br]Si ho considerem com una superfície de revolució, com la funció constant [math]f\left(x\right)=x[/math] des de 0 a 2, la qual es revoluciona al voltant de l'eix de les X's, obtenim el mateix cilindre.[br]Si ara apliquem la fórmula per calcular-ne l'àrea, si considerem que [math]f'\left(x\right)=1[/math] obtenim el següent:[br][br][math]Àrea=\int_a^b2\pi f\left(x\right)\sqrt{\left[f'\left(x\right)\right]^2+1}dx=\int_0^22\pi x\sqrt{\left[1\right]^2+1}dx=2\sqrt{2}\pi\int_0^2xdx=2\sqrt{2}\pi\left[\frac{x^2}{2}\right]_0^2=4\sqrt{2}\pi\approx17,77[/math][br][br]Amb GeoGebra només ens caldrà tenir definida la funció[math]f\left(x\right)=x[/math][br]I demanar que ens calculi la integral següent:[br][math]Integral\left(2\pi f\cdot\sqrt{\left[Derivada\left(f\right)\right]^2+1},0,5\right)\approx17,77[/math]

Un cop hem vist i comprovat els dos exemples del Cilindre i el Con, per una superfície genèrica podem fer el mateix.[br]Prenem una funció amb un paràmetre, per exemple agafem una paràbola que passi per l'origen i pel punt (3,0) i que tingui un màxim. Prenem [math]f\left(x\right)=a\cdot x\left(x-3\right)[/math][br]Si calculem l'àrea de la superfície de revolució generada a partir d'aquesta funció amb Geogebra, només ens cal definir el punt lliscant, la funció [math]f\left(x\right)=a\cdot x\cdot\left(x-3\right)[/math] i calcular la següent comanda:[br][math]Integral\left(2\pi f\sqrt{\left[Derivada\left(f\right)\right]^2+1},0,3\right)[/math][br]I ens donarà un valor concret segons el valor del punt lliscant [math]a[/math][br]Per exemple per [math]a=-2[/math] tenim que