Ekstrema lokalne funkcji dwóch zmiennych
[color=#c51414][b]Laboratorium matematyczne z GeoGebrą[/b][/color] Skrypt dla studentów uczelni technicznych [b]Elżbieta Kotlicka-Dwurznik, Joanna Rzepecka Politechnika Łódzka, Centrum Nauczania Matematyki i Fizyki[/b] Projekt finansowany w ramach budżetu zadaniowego PŁ „Granty dydaktyczne PŁ” [url=https://port.edu.p.lodz.pl/course/view.php?id=41]Strona projektu na platformie Wikamp[/url] Łódź 2019
Table of Contents
- 1. Definicja
- Przykład 1.1
- Przykład 1.2
- Przykład 1.3
- Przykład 1.4
- Przykład 1.5
- Przykład 1.6
- 2. Punkty stacjonarne
- Przykład 2.1
- Przykład 2.2
- Przykład 2.3
- Przykład 2.4
- Zadanie 2.1
- Zadanie 2.2
- 3. Wyznaczanie ekstremów lokalnych
- Warunek wystarczający, Przykład 3.1
- Przykład 3.2
- Przykład 3.3
- Algorytm wyznaczania ekstremów lokalnych, Przykład 3.4
- Przykład 3.5
- Przykład 3.6
- Przykład 3.7
- Zadanie 3.1
- Zadanie 3.2
- Zadanie 3.3 (z parametrem)
- "Uwagi techniczne
Przykład 1.1
[br]Funkcja określona wzorem[br][center][math]f(x,y)=x^2+y^2+1[/math] dla [math](x,y)\in \mathbb{R}^2[/math][/center]posiada minimum lokalne w punkcie [math]P=(0,0)[/math] o wartości [math]f(P)=1.[/math] Rzeczywiście, istnieje otoczenie [math]U= \mathbb{R}^2[/math] punktu [math]P[/math] takie, że [center] [math]f(x,y)=x^2+y^2+1\ge1=f(0,0)[/math] dla każdego [math](x,y)\in U.[/math][/center]Ponadto ponieważ [math]f(x,y)>f(0,0)[/math] dla każdego [math](x,y)\in U \setminus \{(0,0)\}[/math], więc jest to [b]minimum lokalne właściwe[/b]. A zatem punkt [math]R=(x(P),y(P),f(P))=(0,0,1)[/math] jest lokalnie (ale i globalnie) najniżej położonym punktem na wykresie funkcji [math]f[/math]. [br][br][table] [tr][br] [td][color=#980000][b][size=200]! [/size][/b][/color][/td][br] [td][size=85]Zauważmy, że wykresem funkcji [math]\scriptstyle f[/math] jest paraboloida obrotowa o wierzchołku w punkcie [math]\scriptstyle R[/math], czyli jedna z podstawowych powierzchni które przedstawiamy w rozdziale ... . [size=85]Umiejętność rozpoznania typu powierzchni, która jest wykresem badanej funkcji, może być przydatna w postawieniu hipotezy dotyczącej istnienia ekstremów lokalnych (globalnych) tej funkcji.[/size][/size][/td][br][/tr][br][/table]
Ćwiczenie.
Niech [math]g(x,y)=2-(x-1)^2-y^2[/math] dla [math](x,y)\in \mathbb{R}^2[/math]. Naszkicuj odręcznie wykres funkcji [math]g[/math], a następnie zastanów się, co można powiedzieć o ekstremach lokalnych tej funkcji. W powyższym aplecie zdefiniuj funkcję [math]g[/math] oraz zaznacz na jej wykresie wyznaczony punkt ekstremalny.[br][br][b]Odpowiedź.[/b]
Przykład 2.1
[br]Jeśli [math]f[/math] jest funkcją dwóch zmiennych określoną na zbiorze [math]D\subset\mathbb{R}^2[/math] i posiadającą pochodne cząstkowe pierwszego rzędu, to [b][color=#980000]punktami stacjonarnymi[/color][/b] funkcji [math]f[/math] nazywamy punkty ze zbioru [math]D[/math] będące rozwiązaniami układu równań: [center][math]\ \ \ \begin{cases}f'\!\!_x (x,y)=0\\f'\!\!_y (x,y)=0.\end{cases}[/math] [math](*)[/math][br][/center][size=85][icon]/images/ggb/toolbar/mode_conic5.png[/icon][/size][color=#666666][i] Aby znaleźć punkty stacjonarne za pomocą GeoGebry postępujemy zgodnie z poniższą instrukcją:[br]1. [color=#666666][i]W Widoku CAS[/i][/color] definiujemy funkcję [math]f[/math].[br]2. Wyznaczamy pochodne cząstkowe funkcji [math]f[/math] korzystając z polecenia [b]Pochodna[/b](...).[br]3. Rozwiązujemy układ równań [math](*)[/math] stosując polecenie [b]Rozwiązania[/b](...) lub [b]Rozwiąż[/b](...).[br]4. Sprawdzamy, czy wyznaczone punkty należą do dziedziny funkcji [math]f[/math].[/i][/color][br]
Przykład.
Wyznaczymy punkty stacjonarne funkcji określonej wzorem:[br][center][math]f(x,y)=x^3+y^3+2x^2-3y-4[/math] dla [math](x,y)\in\mathbb{R}^2[/math].[/center][br][u]Rozwiązanie:[/u]
W tym przypadku [math]D=\mathbb{R}^2[/math], zatem wszystkie wyznaczone punkty należą do dziedziny funkcji [math]f[/math]. To oznacza, że funkcja [math]f[/math] ma cztery punkty stacjonarne. Ponadto ponieważ badana funkcja posiada pochodne cząstkowe w każdym punkcie dziedziny, więc [b]może mieć ekstrema lokalne[/b] tylko w wyznaczonych punktach stacjonarnych.
[color=#666666][table][tr][td][b][icon]/images/ggb/toolbar/mode_conic5.png[/icon][/b][/td][td][color=#666666][i][/i][/color][color=#666666][i][color=#666666][size=100][u]Uwaga[/u]. [/size][/color]Jeśli zaznaczysz jako widoczne rozwiązanie układu równań (wiersz 4 lub 5 w poniższym aplecie), wówczas zmieni się sposób jego zapisu - będzie ono przedstawione jako lista punktów. Jednocześnie wszystkie wyznaczone punkty staną się widoczne zarówno w Widoku Grafiki, jak i w Widoku Grafiki 3D (jako punkty na płaszczyźnie XY). [/i][/color][/td][/tr][/table][br][/color]
Warunek wystarczający, Przykład 3.1
[br]Niech [math]f[/math] będzie funkcją określoną na zbiorze [math]D\subset\mathbb{R}^2[/math] i posiadającą pochodne cząstkowe drugiego rzędu. Macierz [math]H[/math] określoną wzorem [center][math]H(x,y)=\left[ \begin{matrix}f''\!\!\!_{xx} (x,y) & f''\!\!\!_{xy} (x,y) \\f''\!\!\!_{yx} (x,y) & f''\!\!\!_{yy} (x,y)\end{matrix}\right][/math] dla [math](x,y)\in D[/math][/center]nazywamy [color=#980000][b]hesjanem[/b][/color] (lub [color=#980000][b]macierzą Hessego[/b][/color]) funkcji [math]f[/math]. [br]Przypomnijmy twierdzenie zwane [b][color=#980000]warunkiem wystarczającym istnienia ekstremum lokalnego[/color][/b]: Jeśli [math]f[/math] ma ciągłe pochodne cząstkowe drugiego rzędu w otoczeniu punktu [math]P_0\in D[/math] oraz[br][list][*] [math]f'\!\!_x (P_0)=0[/math], [math]f^\prime\!\! _y (P_0)=0[/math],[br][/*][*] [math]\det (H(P_0 ))>0[/math], [br][/*][/list]to funkcja [math]f[/math] posiada ekstremum lokalne właściwe w punkcie [math]P_0[/math], przy czym jest to maksimum lokalne, gdy [math]f''\!\!\!_{xx}(P_0)<0[/math] i minimum lokalne, gdy [math]f''\!\!\!_{xx} (P_0)>0[/math]. Gdy [math]\det (H(P_0 ))<0 [/math] funkcja [math]f[/math] nie ma ekstremum lokalnego w punkcie [math]P_0[/math]. [br][br][table][tr][td][color=#980000][b][size=200]! [/size][/b][/color][/td][td][size=85]W przypadku, gdy [math]\scriptstyle \det (H(P_0 ))=0 [/math] mówimy, że warunek wystarczający nie rozstrzyga o istnieniu ekstremum lokalnego funkcji [math]\scriptstyle f[/math] w punkcie [math]\scriptstyle P_0[/math]. Oznacza to, iż funkcja [math]\scriptstyle f[/math] może mieć w tym punkcie ekstremum lokalne, ale nie musi (patrz przykład 3.3). [/size] [/td][/tr][/table][br]Dalej dla ustalonego punktu [math]P_0[/math] będziemy stosować następujące oznaczenia: [br][center][math]w_1=f''\!\!\!_{xx}(P_0)[/math], [math]w_2=\det (H(P_0 ))[/math].[/center][icon]/images/ggb/toolbar/mode_conic5.png[/icon] [br][i][color=#666666]Aby sprawdzić za pomocą GeoGebry, czy funkcja posiada ekstremum lokalne w punkcie stacjonarnym [math]P_0[/math], postępujemy zgodnie z poniższą instrukcją:[br]1. W Widoku CAS wyznaczamy pochodne cząstkowe pierwszego i drugiego rzędu funkcji [math]f[/math] korzystając z polecenia [b]Pochodna[/b](...).[br]2. Definiujemy macierz Hessego [math]H[/math] i wyznaczamy macierz [math]H_{P_0}=H(P_0)[/math] korzystając z polecenia [b]Podstaw[/b](...). [br]3. Obliczamy [math]w_2=\det (H_{P_0 })[/math] (korzystamy z polecenia [b]Wyznacznik[/b](...)) i [math]w_1=f''_{xx}(P_0)[/math] (lub [math]w_1=[/math][b]Element[/b][math](H_{P_0 },1,1)[/math].[br]4. Na podstawie znaków [math]w_2[/math] i [math]w_1[/math] formułujemy odpowiedź. Obliczamy [math]f(P_0)[/math], o ile istnieje ekstremum lokalne w punkcie [math]P_0[/math]. [br][/color][/i]
Przykład.
Stosując podaną instrukcję sprawdzimy, czy funkcja [math]f[/math] określona wzorem [center][math]f(x,y)=x^3+y^3-3xy[/math] dla [math](x,y)\in\mathbb{R}^2[/math][/center]posiada ekstrema lokalne w punktach stacjonarnych [math]P=(0,0)[/math] i [math]Q=(1,1)[/math] (punkty te wyznaczyliśmy w przykładzie 9). [br][br][u]Rozwiązanie:[/u]
Ponieważ dla punktu [math]P[/math] wyznacznik [math]w_2<0[/math], więc funkcja [math]f[/math] nie ma ekstremum lokalnego w tym punkcie.
Dla punktu [math]Q[/math] wyznacznik [math]w_2>0[/math], zatem funkcja [math]f[/math] ma ekstremum lokalne w tym punkcie. Ponadto ponieważ [math]w_1>0[/math], więc jest to minimum lokalne.[br][br]Ostatecznie stwierdzamy, że badana funkcja posiada tylko jedno ekstremum lokalne i jest to minimum w punkcie [math](1,1)[/math] o wartości [math]-1[/math].