[size=100]Considere um cilindro reto de volume (V) dado por [math]V=\pi.\left(r\right)^2.h[/math], onde [math]r[/math] e [math]h[/math] são, respectivamente, as medidas do raio da base e altura. A superfície (área) desse cilindro pode ser calculada por meio da relação [math]S\left(r,h\right)=2.\pi.r^2+2.\pi.r.h[/math]. Ou ainda, pelo fato de [math]h=\frac{V}{\pi.r^2}[/math], temos que [math]S\left(r\right)=2.\pi.r^2+\frac{2.V}{r}[/math].[br]No applet acima está definida a função [math]S\left(x\right)=2.\pi.x^2+\frac{2.V}{x}[/math], para [math]x>0[/math]. Essa definição é feita usando [math]x=r[/math] em [math]S\left(r\right)[/math].[br]__________________________________________________[br][br]Para explorar quais são as "[i]medidas ótimas[/i]" do cilindro, ou seja, aquelas que para um volume (V) fixo tornam a sua superfície (S) [u][b]mínima[/b][/u] precisamos conhecer cálculo diferencial. [br]No nosso caso, a função [math]S'\left(x\right)[/math] que é a função derivada de [math]S\left(x\right)[/math] será [math]S'\left(x\right)=4.\pi.x-\frac{2.V}{x^2}[/math]. O valor de [math]x>0[/math] tal que [math]S'\left(x\right)=0[/math] é [math]x=\sqrt[3]{\frac{V}{2.\pi}}[/math]. Portanto, [math]h=\frac{V}{\pi.r^2}=\frac{V}{\pi.x^2}=\frac{V}{\pi.^{\left(\sqrt[3]{\frac{V}{2.\pi}}\right)^2}}=\frac{V}{\pi.^{\left(\sqrt[3]{\frac{V}{2.\pi}}\right)^2}}.\frac{\sqrt[3]{\frac{V}{2.\pi}}}{\sqrt[3]{\frac{V}{2.\pi}}}=\frac{V.\sqrt[3]{\frac{V}{2.\pi}}}{\pi.\frac{V}{2.\pi}}=2.\sqrt[3]{\frac{V}{2.\pi}}=2.x=2.r[/math].[br]Pelo teste da segunda derivada de [math]S\left(x\right)[/math] que é dado pela função [math]S''\left(x\right)=4.\pi+\frac{4.V}{r^3}[/math] temos que [math]S''\left(\sqrt[3]{\frac{V}{2.\pi}}\right)=4.\pi+\frac{4.V}{\left(\sqrt[3]{\frac{V}{2.\pi}}\right)^3}=4.\pi+\frac{4.V}{\left(\frac{V}{2.\pi}\right)}=4.\pi+8\pi=12.\pi>0[/math], confirmando que [math]r=\sqrt[3]{\frac{V}{2.\pi}}[/math] é a medida que torna o cilindro de volume (V) fixo com a menor superfície (S).[/size]

[color=#ff0000][size=100][b]Observação:[/b] pelo argumento apresentado anteriormente o cilindro reto com "medidas ótimas" é equilátero, pois a altura é igual ao diâmetro da base. [/size][/color]