[url=https://en.wikipedia.org/wiki/Prince_Rupert_of_the_Rhine]Rupert rajnai herceg[/url] katonaként végig harcolta a XVII. századot, neve mégis inkább egy [url=https://en.wikipedia.org/wiki/Prince_Rupert%27s_drop]fizikai[/url] és egy [url=https://en.wikipedia.org/wiki/Prince_Rupert%27s_cube]matematikai[/url] csecsbecse elnevezésében maradt az utókorra.[br][br]Mi most az utóbbi problémával foglalkozunk, [url=https://www.youtube.com/watch?v=evKFok65t_E&t=50s]ennek[/url] az anyagnak a hatására, amelynek a részletei [url=https://www.youtube.com/watch?v=jDTPBdxmxKw]itt[/url] találhatók. [br][br]Ezek szerint egy konvex poliéder Rupert tulajdonságú, ha vágható rajta olyan "alagút" amelyen az ezzel egybevágó, vagy nála nagyobb, hozzá hasonló poliéder "átfér".[br] [br]Kicsit részletesebben: a melyhez van a konvex poliéderből kivágott tórusz szerű közönséges poliéder, amelyen átdugható egy vele egybevágó poliéder úgy, hogy ne legyen közös belső pontjuk.[br][br]A legismertebb Rupert tulajdonságú poliéder a kocka, amelyen [url=https://en.wikipedia.org/wiki/Prince_Rupert%27s_cube]átdugható egy nála (kicsivel) nagyobb[/url] kocka is.
Amint az anyag elején említett videóból kitűnt, nem egyszerű feladat egy konvex poliéderről eldönteni, hogy Rupert tulajdonságú-e. Bár "mindössze" azt kell igazolni, hogy van két olyan sík, amelyre merőlegesen vetítve az adott poliédert az egyik vetületen belül elhelyezhető a másik.[br][br] Pl. a kocka esetében elegendő igazolni, hogy egy[i] a[/i] élű kocka szabályos hatszög vetületében - amelynek az oldala [i]a·sqrt(6)/3[/i] "elfér" egy [i]a[/i] élű négyzet. Márpedig elfér, [url=https://hu.wikipedia.org/wiki/Rupert-f%C3%A9le_kocka]sőt még nagyobb is[/url]. [br][br]Érdeklődő olvasóink itt találják a téma legalaposabb magyar nyelvű elemzését: https://www.math.elte.hu/thesisupload/thesisfiles/2022bsc_mat3y-dum5e7.pdf
Nyilvánvaló, hogy a Rupert tulajdonságú konvex poliéderekből képzett tórusz-szerű poliéder - röviden: toroid - amelyen érintkezés nélkül átfér a vele egybevágópéldánya maga is Rupert tulajdonságú, azaz átfér saját magán. Sőt: abban az értelemben is átfér, hogy e mozgás közben a két toroidnak egyáltalán ne legyen közös pontja.[br][br]Könnyen elő tudunk állítani ilyen tórusz-szerű poliédereket, de nehezebb a kérdés, ha már egy - más szempont szerint előállított - toroidot vizsgálunk ebből a szempontból. [br][br]Vajon a - nem a Rupert tulajdonság igazoáára előállított - toroidok közül melyek a Rupert tulajdonságúak, és melyek bizonyíthatóan nem?[br][br]Meg tudjuk-e változtatni - egy toroid csúcsainak a koordinátáit -a kombinatorikus szerkezetét megtartva - úgy, hogy Rupert tulajdonságúvá váljon? [br][br]Például [url=https://www.geogebra.org/m/tykk3aed]ennek[/url], vagy [url=https://www.geogebra.org/search/Cs%C3%A1sz%C3%A1r%20poli%C3%A9der]ennek[/url] a toroidnak a koordinátái megválaszthatók-e úgy, hogy Rupert tulajdonságú legyen? [br][br]Ez a kérdés az [url=https://www.geogebra.org/m/equfjxft#chapter/1155231]itt bemutatott[/url] poliéderek mindegyikére feltehető. [br]