1) Nel disegno è raffigurato un prisma triangolare retto di basi ABC, DEF.[br]Il volume del prisma è dato dal prodotto dell'area del triangolo ABC moltiplicata per
2) Il punto D è il vertice di una piramide p[sub] [/sub](colorata in arancio) avente base ABC.[br]I punti BCFED sono i vertici di una seconda piramide p', congruente alla piramide B'C'F'E'D' raffigurata a fianco.[br]Il volume del prisma è dato
3) Il quadrilatero B'C'F'E' è un
e la diagonale B'F' lo divide in due
4) Le piramidi[br][list][*]p[sub]1[/sub], di base B'E'F' e vertice D,[br][/*][*]p[sub]2[/sub], di base B'C'F' e vertice D[br][/*][/list]hanno basi equivalenti (i triangoli B'E'F', B'C'F' sono congruenti) e altezze congruenti (uguali alla distanza del punto D dal piano delle basi), quindi - per la condizione sufficiente dimostrata - hanno uguale
5) Le piramidi[br][list][*]p, di base ABC e vertice D[/*][*]p[sub]1[/sub], considerata di base D'E'F' e vertice B'[/*][/list]hanno le basi ABC, D'E'F' congruenti in quanto basi del
e altezze AD, B'E' congruenti in quanto altezze dello stesso
6) Per la condizione sufficiente dimostrata le due piramidi p, p[sub]1[/sub] hanno quindi uguale
7) Come conseguenza dei punti 4) 6), i volumi delle piramidi considerate soddisfano le uguaglianze
8) Inoltre la somma dei volumi[br][center]p + p[sub]1[/sub] + p[sub]2[/sub] = 3p[/center]è uguale al volume del
9) Si conclude che il volume della piramide p è 1/3 del volume del prisma, quindi è dato da[br][math]\frac{1}{3}Area_{BASE}Altezza[/math][br][br]Per il principio di Cavalieri qualunque piramide è equivalente ad una piramide triangolare inscrivibile (come la p) in un prisma retto, quindi la regola trovata fornisce il volume di tutte le piramidi.[br][br]v. anche la [url=http://www.cutoutfoldup.com/971-the-volume-of-a-pyramid-is-one-third-that-of-a-prism.php]costruzione[/url]