[br]Zbadamy, dla jakich wartości parametrów [math]a[/math] i [math]b[/math] funkcja [math]f[/math] określona wzorem [center][math]f(x)=\begin{cases} -\sin (2x) \text{ dla } x\geq 0 \\ ax+b \text{ dla } x< 0 \end{cases}[/math] [/center] jest różniczkowalna w punkcie [math]0[/math]. [br][br][u]Ilustracja graficzna[/u]:[br]Zastanów się najpierw, dla jakich wartości parametrów [math]a[/math] i [math]b[/math] funkcja [math]f[/math] jest ciągła w [math]0[/math]?

[u]Rozwiązanie[/u]:[br]Przypomnijmy, że ciągłość jest warunkiem koniecznym różniczkowalności, dlatego zaczniemy od zbadania, kiedy funkcja [math]f[/math] jest ciągła w punkcie [math]0[/math].[br][br]Ponieważ [math]\lim_{x\to 0^+}f\left(x\right)=\lim_{x\to 0^+}\ (-\sin\left(2x\right))=0=f\left(0\right)[/math] oraz [math]\lim_{x\to 0^-}f\left(x\right)=\lim_{x\to 0^-}\ (ax+b)=b[/math], więc funkcja [math]f[/math] jest ciągła w [math]0[/math] tylko, gdy [math]b=0[/math].

Zauważmy, że zdefiniowane w aplecie funkcje [math]f_1[/math] i [math]f_2[/math] są różniczkowalne w punkcie [math]0[/math], a zatem[math]f'(0^+)=f_1'(0^+)=f_1'(0)=-2[/math] oraz [math]f'(0^-)=f_2'(0^-)=f_2'(0)=a[/math]. To oznacza, że funkcja [math]f[/math] jest różniczkowalna w [math]0[/math] tylko dla [math]a=-2[/math].

Dla jakich wartości parametrów [math]a[/math] i [math]b[/math] funkcja [math]f[/math] określona wzorem [center][math]f(x)=\begin{cases} \sin (x) +1\text{ dla } x\geq 0 \\ ax+b \text{ dla } x< 0 \end{cases}[/math] [/center] jest różniczkowalna w [math]0[/math].[br]