Sucesiones, Sumatoria y Límites 333
DDD
Table of Contents
- Act prev
- Reflexión
- Sucesiones en la Naturaleza
- SUCESIONES Y SUMATORIA
- Sucesiones
- RECURSO
- SUMATORIA
- LÍMITES
- Definición de límites
- Límites Laterales
- Propiedades de los Límites
- Limites
- LIMITES DE UNA SUCECIÓN
- Límite de una sucesión
- El teorema de la suma de dos sucesiones límite
- Conclusión
- UN ENFOQUE ONTOSEMIÓTICO DEL CONOCIMIENTO Y LA INSTRUCCIÓN MATEMÁTICA
- 1. Introducción
- 2. Hacia un enfoque unificado del conocimiento y la instrucción matemática
- 3. Herramientas teóricas que componen el enfoque ontosemiótico
- PARTE 2 UN ENFOQUE ONTOSEMIÓTICO DEL CONOCIMIENTO Y LA INSTRUCCIÓN MATEMÁTICA
Reflexión
[list=1][*]¿Qué palabra se te viene a la mente cuando piensan en las sucesiones?[/*][*]¿Qué significado tienen por sucesión? [/*][*]¿Existen las sucesiones en el mundo físico?[/*][/list]
Sucesiones
[b]Sucesión[/b]: Una sucesión es una función definida de [math]ℕ→ℝ[/math] que se acostumbra a denotar por [math]a_n[/math] en lugar de [math]f\left(n\right)[/math], así: [math]a_n∈ℝ,∀n∈ℕ[/math][br][math]a_n[/math]: se llama término n-ésimo o término de lugar n.[br][math]a_1[/math]: es el primer término de la sucesión.[br][math]a_k[/math]: es el k-ésimo término de la sucesión.[br][br][b]Términos de una sucesión:[/b] Dada la sucesión [math]a_1,a_2[/math], … , [math]a_n[/math] , su k–ésimo término es [math]a_k[/math] , el [br]siguiente término es [math]a_{k+1}[/math] también llamado sucesor, el anterior al k–ésimo término es [math]a_{k-1}[/math][br]también llamado antecesor.[br][br][b]Formación de una sucesión:[/b] las sucesiones se pueden representar a través de un término [br]general, o bien de manera recursiva. Ambos conceptos representan de manera clara el [br]comportamiento de la sucesión, pero es mucho mejor solo tener una expresión que dependa de [br]la posición en la que me encuentro, más que de su término anterior.[br][br][b]Representación gráfica de una sucesión:[/b] Las sucesiones se pueden representar de manera [br]gráfica en los reales, ya que son funciones de los naturales a los reales. Por lo que podemos [br]realizar una gráfica de la sucesión. Por ejemplo, sea la sucesión anterior, [math]a_n=2n−1,[/math] entonces [br]su grafica será de la siguiente manera.[br][br][br]
[b]Monotonía de una sucesión: [/b]
Obsérvese que la única diferencia entre sucesión creciente y estrictamente creciente es que en [br]la segunda la desigualdad debe cumplirse necesariamente mientras que en las crecientes puede [br]haber igualdad entre términos sucesivos.[br][br][b]Una sucesión {[/b][math]a_n[/math][b]} es monótona decreciente si:[/b][br][br]
[b]Convergencia de una sucesión[br][/b]Estudiar la convergencia de una sucesión consiste en investigar a qué valor tiende el término [br]genérico de la misma cuando [math]n→∞.[/math][br]Si tiende a un número finito [math]l[/math]la sucesión se dice convergente, si tiende al "∞" o no existe el [br]número [math]l[/math], la sucesión se dice divergente.[br]Definición formal: Si los valores de [math]a_n[/math] se pueden hacer tan cerca como queramos a [math]L[/math] tomando [br]valores de [math]n[/math] suficientemente cerca de ∞ (tan grandes como queramos), entonces escribimos:[br]
Definición de límites
Definición de límites
[b]Límites[/b][br]El límite de una función se puede definir como el límite de [math]f(x)=L,L∈ℝ[/math], esto cuando "x" [br]tiende a un valor "a", siempre que sea posible hallar para cada ocasión un "x" cerca de "a" [br]de tal manera que el valor de [math]f(x)[/math] sea cercano a "L" [br][justify][img]https://www.matesfacil.com/BAC/limites/concepto/T0.png[/img][br]Otra forma de definir el límite seria: Un límite es una magnitud a la que se acerca [br]progresivamente los términos de una secuencia infinita de magnitudes.[br][b]Ejemplo:[/b] Dada la función [math]y=f\left(x\right)=2x−1[/math], veamos que sucede cuando la variable x se [br]aproxima a un valor dado, que llamaremos "a", no nos interesa lo que sucede exactamente [br]en "a". Analicemos a que valor se acerca la función [math]f\left(x\right)=2x-1[/math] cuando x se acerca a 2, [br]sin importarnos que sucede en [math]x=2.[/math][br][br][/justify]
Límite de una sucesión
Una secuencia {[math]a_n[/math]} converge a un número real[math]L[/math] si para todo [math]ε>0,[/math] existe un entero [math]N[/math] tal [br]que [math]|a_n−L|<[/math] [math]ε[/math] si [math]n\ge N[/math]. El número[math]L[/math] es el límite de la secuencia y escribimos
en este caso, decimos que la secuencia {[math]a_n[/math]} es una secuencia convergente. Si una secuencia no converge, es una secuencia divergente y decimos que el límite no existe. Observamos que la convergencia o divergencia de una secuencia {[math]a_n[/math]} depende solo de lo que sucede con los términos [math]a_n[/math] cuando [math]n→∞[/math]. Por lo tanto, si un número finito de términos [math]b_1,b_2[/math], …, [math]b_n[/math] se colocan antes de [math]a_1[/math] para crear una nueva secuencia. [math]b_1,b_2,[/math]... [math]b_n,[/math] al a2, .... , [br]esta nueva secuencia convergerá si {[math]a_n[/math]} converge y divergirá si {[math]a_n[/math]} diverge. Además, si la [br]secuencia {[math]a_n[/math]} converge a [math]L[/math], esta nueva secuencia también convergerá a [math]L[/math].[br]
Si una secuencia {[math]a_n[/math]} no es convergente, decimos que es una secuencia divergente. En la definición informal del límite de una secuencia, usamos los términos “arbitrariamente cerca” y “suficientemente grande”. Aunque estas frases ayudan a ilustrar el significado de una secuencia convergente, son algo vagas. Para ser más precisos, ahora presentamos la definición más formal de límite para una secuencia
Límite de una sucesión
1. Introducción
Enfoque Ontosemiótico
Así pues, la Didáctica de las Matemáticas debe considerar las contribuciones de diversas disciplinas, además de tener en cuenta un análisis ontológico y epistemológico para estudiar los procesos de enseñanza y aprendizaje de objetos matemáticos.[br][br]Por lo tanto, la investigación en Didáctica de las Matemáticas no puede ignorar cuestiones filosóficas tales como:[br][list][*]¿Cuál es la naturaleza de los objetos matemáticos?[/*][*]¿Qué papel juegan la actividad humana y los procesos socioculturales en el desarrollo de las ideas matemáticas?[/*][*]¿Las matemáticas se descubren o inventan?[/*][*]¿Agotan las definiciones formales y los enunciados de las proposiciones el significado integral de los conceptos?[/*][*]¿Cuál es el papel que juegan en el significado de los objetos matemáticos, sus relaciones con otros objetos, las situaciones problemáticas en las cuales se usan como herramientas, y las diversas representaciones simbólicas?[/*][/list]