[size=85][size=50][i][b][size=50][right]Diese Aktivität ist eine Seite des [color=#980000]geogebra-books[/color] [url=https://www.geogebra.org/m/xtueknna][color=#0000ff][u]geometry of some complex functions[/u][/color][/url] [color=#ff7700]december 2021[/color][/right][/size][/b][/i][/size][/size][br][size=85]Die [color=#38761D][i][b]elliptische[/b][/i][/color] [b]Jacobi[/b]-[color=#38761D][i][b]Funktion[/b][/i][/color] [math]z\mapsto \mathbf{cn\left(z;k\right)}\mbox{ mit }1>k>0[/math] erfüllt die [color=#38761D][i][b]elliptische Differentialgleichung[/b][/i][/color][br][/size][list][*][math]\left(cn'\right)^2=\left(1-cn^2\right)\cdot\left(1-k^2+k^2\cdot cn^2\right)[/math][br][/*][/list][size=85]Die [color=#00ff00][i][b]Brennpunkte[/b][/i][/color] (Nullstellen der Differentialgleichung) sind [math]f=1;f'=-1,f_k=\frac{i\cdot\sqrt{1-k^2}}{k},f_k'=-\frac{i\cdot\sqrt{1-k^2}}{k}[/math].[br]In [color=#cc0000][i][b]geogebra[/b][/i][/color] sind die [color=#0000ff][i][b]komplexen[/b][/i][/color] [b]Jacobi[/b]-[color=#38761D][i][b]Funktionen[/b][/i][/color] nicht implementiert.[br]In [color=#0000ff][b]mathematica[/b][/color] ist [b]JacobiCN(z; m)[/b] = [math]\mathbf{cn\left(z;k\right)}[/math] mit [math]m=k^2[/math] implementiert. [br]Für [math]m=\frac{1}{2}[/math] liegen die [color=#00ff00][i][b]Brennpunkte[/b][/i][/color] [math]\pm1,\pm i[/math] [color=#ff0000][i][b]konzyklisch[/b][/i][/color] auf dem [color=#BF9000][i][b]Einheitskreis[/b][/i][/color] [br]und [color=#BF9000][i][b]spiegelbildlich[/b][/i][/color] zu den Achsen: die [color=#00ff00][i][b]Brennpunkte[/b][/i][/color] sind in [color=#0000ff][i][b]harmonischer Lage[/b][/i][/color]. [br][color=#ff7700][i][b]Lösungskurven[/b][/i][/color] sind - spiegelbildlich zu den Achsen - [b]1-teilige[/b] [color=#ff7700][i][b]bizirkulare Quartiken[/b][/i][/color][br]und - spiegelbildlich zu den [color=#BF9000][i][b]Winkelhalbierenden[/b][/i][/color] - [b]2-teilige[/b] [color=#ff7700][i][b]bizirkulare Quartiken[/b][/i][/color], sie schneiden die [b]1-teiligen[/b] unter [b]45°[/b].[br]Wie in der vorigen Aktivität wurden in [color=#0000ff][b]mathematica[/b][/color] achsenparallele und zu den Winkelhalbierenden parallele[br][color=#9900ff][i][b]Geradenstücke[/b][/i][/color] in[color=#ff0000][i][b] Punkte[/b][/i][/color]-Listen von [b]JacobiCN(z; 0.5)[/b] ausgewertet und in das [color=#cc0000][i][b]geogebra[/b][/i][/color]-Applet eingefügt.[br]Die [color=#ff7700][i][b]Lösungs-Kurven[/b][/i][/color] durch den komplexen Punkt [color=#ff7700][b]z [/b][/color]sind mit Hilfe der [i][b][color=#999999]doppelt-berührenden[/color] [color=#ff0000]Kreise[/color][/b][/i] [br]und der zugehörigen [color=#0000ff][i][b]Leitkreise[/b][/i][/color] konstruiert. Für die [b]1-teiligen[/b] wurden für die Konstruktion die zur [math]x[/math]-Achse [br][color=#f1c232][i][b]symmetrischen[/b][/i][/color] [color=#999999][i][b]doppelt-berührenden[/b][/i][/color] Kreise verwendet, für die [b]2-teiligen[/b] die zum imaginären [color=#ff0000][i][b]Kreis[/b][/i][/color] [color=#f1c232][i][b]symmetrischen[/b][/i][/color] [br][color=#999999][i][b]doppelt-berührenden[/b][/i][/color] [color=#ff0000][i][b]Kreise[/b][/i][/color]. Die dazugehörende [color=#ff0000][i][b]Kreis[/b][/i][/color]-[color=#f1c232][i][b]Spiegelung[/b][/i][/color] ist das Produkt aus den [color=#f1c232][i][b]Achsenspiegelungen[/b][/i][/color][br]und der [color=#f1c232][i][b]Spiegelung[/b][/i][/color] am [color=#BF9000][i][b]Einheitskreis[/b][/i][/color].[br]Wären die [b]Jacobi[/b]-[color=#38761D][i][b]Funktionen[/b][/i][/color] in [color=#cc0000][i][b]geogebra[/b][/i][/color] als [color=#0000ff][i][b]komplexe Funktionen[/b][/i][/color] implementiert, so könnte man die [color=#ff7700][i][b]Lösungskurven[/b][/i][/color][br]als Bilder von [i][b]parametrisierten[/b][/i] Geradenstücken "konstruieren": [math]x\mapsto x+i\cdot y,\;y=\mathbf{const}[/math] und [math]y\mapsto x+i\cdot y,\;x=\mathbf{const}[/math], [br]entsprechend für die Parallelen zu den Winkelhalbierenden; siehe die Aktivitäten zu [b]exp[/b], [b]sin[/b] oder [b]tan[/b].[br][u][color=#ff0000][i][b]Links[/b][/i][/color][/u]: siehe [math]\hookrightarrow[/math] [url=https://www.geogebra.org/m/xtueknna#material/jgk4a2f8][color=#0000ff][u][i][b]die Seite zuvor[/b][/i][/u][/color][/url].[/size]