S: la population susceptible[br][math]\textcolor{red}\text{I: la population infectée}[/math][br][math]\textcolor{green}\text{R: la population remise}[/math][br][br]Observez également la pente du nombre d'infectés qui est le nombre de nouveaux cas.[br][br]Ces trois quantités dépendant du temps sont reliées les unes aux autres: il y a d'autant plus d'infectés un jour donné qu'il y avait de susceptibles et d'infectés la veille, avec un taux [math]{\textcolor{red}\text{transmission}}[/math] relié au paramètre [math]R_0[/math] qui est le nombre moyen d'infectés par un malade dans [url=https://fr.wikipedia.org/wiki/Modèles_compartimentaux_en_épidémiologie]les modèles épidémiologiques[/url]. Ces nouveaux infectés sont retranchés des susceptibles. Parmi les infectés, une partie (avec un taux [math]{\textcolor{green}\text{guerison}}[/math]) se guérit et est retranchée des infectés. Quand on introduit la [math]{\textcolor{purple}\text{vaccination}}[/math], des susceptibles passent directement dans les remis. Au contraire, une perte d'immunité peut intervenir et faire passer des remis parmi les susceptibles[br]Ce qui, sous forme d'équations différentielles donne:[br][br][br][math]S'(t,S,{\textcolor{red}I},{\textcolor{green}R})=-{\textcolor{red}\text{transmission} \times \textcolor{red}I}\times S-{\textcolor{purple}\text{vaccination} \times S}+{\text{immunod}}\times {\textcolor{green}R},[/math][br][math]{\textcolor{red}I'}(t,S,{\textcolor{red}I},{\textcolor{green}R})=+{\textcolor{red}\text{transmission}\times \textcolor{red}I}\times S-{\textcolor{green}\text{guerison}} \times {\textcolor{red}I},[/math][br][math]{\textcolor{green}R'}(t,S,{\textcolor{red}I},{\textcolor{green}R})=+{\textcolor{green}\text{guerison}}\times {\textcolor{red}I}\phantom{\times S\times R}+{\textcolor{purple}\text{vaccination} \times S}-{\text{immunod}}\times {\textcolor{green}R}.[/math][br][br]C'est une équation différentielle vectorielle (il y a trois fonctions reliées entre elles) non linéaire. On l'étudie numériquement.[br]

Vous pouvez ajuster le taux de transmission, le taux de guérison, la fraction d'infectés au départ, le taux de vaccination, le facteur d'immuno-dépression et faire glisser les points S, I, R le long du temps.[br][br][url=https://youtu.be/k6nLfCbAzgo][url=https://www.youtube.com/watch?v=k6nLfCbAzgo&feature=emb_logo]Numberphile[/url][/url] a fait une présentation sur cette simulation.