[b]このワークシートは[url=https://www.geogebra.org/m/twxxx3yq]Math by Code[/url]の一部です。[br][br]アプレット、背景、実装の順に見ていきましょう。[br][/b]

[size=150][size=100][color=#0000ff]長調は明るくていいですが、アルファベット的にはAをスタートにするスケールの方が[br]わかりやすいかもしれません。[br][br]そんな期待？をもちながら、マイナースケールとコードを探っていきましょう。[br]メジャースケールのときと同じように、[br]音程の特徴に目をつけることで、スケール（音の階段）とコード（和音）をつなげてみよう。[br][/color][/size][b][br]＜白鍵だけで長調と短調ができる＞[/b][/size][br]音と音の間隔の基本は全音と半音でした。[br][br]主音（スタート）を１として「ラ」（A）から[br][u]白鍵だけを１，２，３，４，５，６，７と数えます。[/u][br][b]ラシドレミファソラ（イロハニホヘト＝ABCDEFG）[br][/b]イロハもABCも1番目からになっているのでわかりやすいね。[br][br]この音のスケールを[b]マイナー[/b](短調）といいました。[br]だから、このラシドレミファソラの音階をイ短調（Aマイナー）スケールと言えますね。[br]黒鍵のありなしで２１２２１２２２で、全半全全半全全全になっています。[br][br]Aを１にするとマイナーですが、教会モードをここからはじめてみよう。[br]A＝１はエオリアン（マイナー）[b][color=#0000ff]全半全[/color]全 [/b]半全全[br]B＝１はロクリアン　　　　　　[b][color=#9900ff]半全全半 [/color][/b]全全全[br]C＝１はイオニアン（メジャー）[b][color=#0000ff]全全半[/color]全 [/b]全全半[br]D＝１はドリアン　　　　　　　[b][color=#0000ff]全半全[/color]全 [/b]全半全[br]E ＝１はフリジアン　　　　　　[b][color=#0000ff]半全全[/color]全 [/b]半全全[br]F ＝１はリディアン　　　　　　[b][color=#ff0000]全全全[/color]半 [/b]全全半[br]G＝１はミクソ・リディアン　　[b][color=#0000ff]全全半[/color]全 [/b]全半全[br][br][b]完全５度（全３半１）[/b]が大半なこと、[br][b]完全４度（全２半１）[/b]が大半なこと[br]この２つは変わりませんね。

[b][size=150]＜ナチュラルマイナースケール上の３和音＞[br]問題は、和音のカラーを決める3度です。[br][/size][/b]２、４を飛ばして、白鍵の１番と３番と5番を同時に押してみます。[br]A＝１はエオリアン（マイナー）[color=#0000ff][b]全半[/b]全[/color]全半全全[br]B＝１はロクリアン　　　　　　[b]半全[/b]全半全全全[br]C＝１はイオニアン（メジャー）[color=#38761d][b]全全[/b][/color]半全全全半　[br]D＝１はドリアン　　　　　　　[color=#0000ff][b]全半[/b][/color]全全全半全[br]E ＝１はフリジアン　　　　　　[color=#0000ff][b]半全[/b][/color]全全半全全[br]F ＝１はリディアン　　　　　　[b][color=#38761d]全全[/color][/b]全半全全半[br]G＝１はミクソ・リディアン　　[color=#38761d][b]全全[/b][/color]半全全半全[br][b][color=#38761d]全全[/color][/b]というのは[b]長３度（メジャー[/b]3）、[b][color=#0000ff]全半か半全[/color][/b]が[b]短３度（マイナー[/b]３）です。[br]A＝１の１，３，５はA－３、つまり、Am[br]B＝１の１，３，５はB－３・－５、つまり、Bm-5[br]C=1の１，３，５はC３、つまり、C[br]D=1の１，３，５はD－３、つまり、Dm[br]E=１の１，３，５はE－３、つまり、Em[br]F=１の１，３，５はF３、つまり、F[br]G=１の１，３，５はG３、つまり、G[br][br]ここで、絶対的にスケールの１（A)に合わせた、度数で再表示してみましょう。[br]そして、７を超えた分は７をひき、小さい度数（番号）順に表示します。（つまり、疑似mod7）[br][u][u]１，３[/u]，５はAm[br][color=#9900ff]２，４[/color]，６はBm-5[br]３，５[/u]，７はC[br][color=#9900ff]１，[/color][u][color=#9900ff]４[/color]，６[/u]はDm[br]２，[b][color=#0000ff]５，７[/color][/b]はEm[br]１，３[u]，６[/u]はF[br]２，[color=#0000ff][b]５，７[/b][/color]はG[br]ダイアトニックスケールコードは７つありますが、１つおきに見ると、[br]白鍵の番号が２つずれるだけなので、２音ずつ共通音があります。[br]Amから見るとCとFは2音共通なので類似度が高いですね。[br]Dmから見るとBm-5は近いです。[br]Emから見るとGは近いです。

[b][size=150]＜ナチュラルマイナースケール上の４和音＞[br][/size][/b]２，４，６を飛ばして、白鍵の１番と３番と5番と７番を同時に押してみます。[br][br]A＝１はエオリアン（メジャー）[color=#0000ff][b]全半全全半全[/b][/color]全[br]B＝１はロクリアン　　　　　　[color=#0000ff][b]半全全半全全[/b][/color]全[br]C＝１はイオニアン（メジャー）[b][color=#38761d][u]全全半全全全[/u][/color][/b]半　[br]D＝１はドリアン　　　　　　　[b][color=#0000ff]全半全全全半[/color][/b]全[br]E ＝１はフリジアン　　　　　　[color=#0000ff][b]半全全全半全[/b][/color]全[br]F ＝１はリディアン　　　　　　[b][color=#38761d][u]全全全半全全[/u][/color][/b]半[br]G＝１はミクソ・リディアン　　[color=#0000ff][b]全全半全全半[/b][/color]全[br][br]1番から７番までの音程は全５[b]半１[/b]か全４[b]半２[/b]のどちらかです。[br][color=#38761d][b]半１[/b][/color]というのは[b]長７度（メジャー７[/b]）、[b][color=#0000ff]半２[/color][/b]が[b]短７度（マイナー７[/b]）ですが、[br][b][color=#0000ff]マイナー７が普通なのでマイナーをつけずにただの７度[/color][/b]といいます。[br]１つとばしで、白鍵の奇数番号、１，３，５を同時に引いたのが３和音です。[br]A＝１の１，３，５、７はA－３・－７、Am7[br]B＝１の１，３，５、７はB－３・－５・－７、つまり、Bm7-5[br]C=1の１，３，５、７はC３・７、つまり、Cmaj7[br]D=1の１，３，５、７はDー３・ー7、つまり、Dm7[br]E=１の１，３，５、７はEー3・ー7、つまり、Em7[br]F=１の１，３，５、７はF３・７、つまり、Fmaj7[br]G=１の１，３，５、７はG３・ー７、つまり、G7[br][br]ここで、絶対的にスケールの１（A)に合わせた、度数で再表示してみましょう。[br]そして、７を超えた分は７をひき、小さい度数（番号）順に表示します。（つまり、疑似mod7）[br][u]１，３，５、７[/u]はAm７[br]１，２，４，６はBm７-5[br]２，[u]３，５、７[/u]はCmaj7[br]１、３，４，６はDm７[br]２、４，５，７はEm７[br]１，３、５，６はFmaj7[br]２，４、６，７はG７[br][br]ダイアトニックスケールコードは７つありますが、１つおきに見ると、[br]白鍵の番号が２つずれるだけなので、３音ずつ共通音があります。[br]コード名を音の集合ととらえると、積集合の要素が３個ということです。[br]（例）Am7 ∩ C＝｛１，３，５｝[br]１度のトニックAm=｛１，３，５，７｝からみてCmaj7（３maj７）が近いです。[br]５度のドミナントEm7＝｛２，４，５，７｝は、Am７と共通点が｛５，７｝で、Am7の５度上なのに不安定さが少ないそのため、[b][u]ドミナントの役割としてはE7を使う[/u][/b]ことが多い。[br]４度のサブドミナントDm7＝｛１，３，４，６｝とは、Bm7-5(2m7-5)が｛１，４，６｝共通,[br]Fmaj7(6maj7)は｛１，３，６｝共通、G7（７番７）は[b][u]｛６｝だけ共通ですが、この音は[br]トニックにもドミナントにもないので、サブドミナントの代理[/u][/b]になれます。[br]す。[br]トニック１ｍ７の代理は３ｍ７[br]ドミナント５ｍ７の代理はスケールコードにはない。5番７にして代理。[br]サブドミナント４ｍ７の代理は６番音をもつ、２ｍ７－５、６maj7、７番７。[br]これが標準的な考え方になるようです。[br]

[color=#9900ff][u][b][size=150]質問：12個の主音に対するナチュラルマイナースケール上の７つのコードを表示するアプレットを作るにはどうしたらよいでしょう。[br][/size][/b][/u][/color][br][b]クロマチック音名[/b]を文字列にします。[br]NameS={"B","C","C#","D","D#","E","F","F#","G","G#","A","A#"}　//音名の#系です。[br]C4={"m7","m7-5","maj7","m7","m7","maj7","7"} //4和音の順番がメジャーより６スライドします。[br]C3={"m","m-5","","m","m","",""}　//3和音の順番がメジャーより６スライドします。[br]名前リストを２オクターブ分とります。[br]NS2=join(NameS,NameS)[br]インデックスはgeogebraなら１から24番になります。[br]これは、白鍵の番号ではなく、クロマチックな音階なので、区別しよう。[br]たとえば、Bを主音にしたときにナチュラルマイナースケールのインデックスは[br][color=#0000ff][b]全半全全半全[/b][/color]全から、[u][b]M={１，３，4、６、８，9，11}[/b]です。これがメジャーとのちがいです。[br][/u]ｋ＝NameS2(n）を主音にするスケールのドレミファソラシド名は[br]doremi=sequence(NS2(k-1+M(i)), i, 1,7)[br]doremi+C3で３和音、[br]doremi+C4で４和音の和音名になります。[br]キーを選ぶスライダーをｎ（１以上12以下）とすると、[br]選んだキーはNameS(n)のテキストになります。[br][br][color=#9900ff][u][b][size=150]質問：スケールの音程とコードの音程が視覚化できるアプレットはどうやって作りますか？[br][/size][/b][/u][/color][br]12種類の音名があるので、12角形の点にします。[br][b]たとえば、e^(i 2π/k) k=1...12として、12個の複素数ｚ１からｚ１２を設定[/b]しましょう。[br]12音名のリストNameS={"B", "C",......., "A#"}にたいして、[br]NameS(1), NameS(2),....,NameS(12)を１つ１つのテキストオブジェクトとして、[br][b]txt1, txt2,.....txt12[/b]と名前をつけなおします。[br]そうして、それぞれのテキストオブジェクト[b]txt kの「設定」の「位置」のリストから対応するｚk[/b][br]を選ぶべば、12個の頂点に、音名を表示できるようになるでしょう。[br][br]1つ１つの複素数の他に、複素数のリスト[b]pt=sequence(e^(i 2π/k), k, 1, 12)を設定[/b]しておけば、[br]pt(x)のｘを適当に選ぶことで、スケールに関係のある点を強調できます。[br]（そして、選ばれた番号の頂点ｋに対して、mod（ｋ－１,12）+1をすることで、１２のときに１２にする[br]変則mod12を作ることで、ｋの変化に対して、１，２、…、１２、１，２、…。１２と返します。）[br][br]選ばれたスケールの番号[b]M=[u][color=#0000ff]{１，３，4、６、８，9，11}です。これがメジャーとの違いです。[/color][br][/u][/b][br]キーをn=2としたばあい、[b]M＋n-1[/b]={2, 4, 5, 7, 9,10,12}と、リストをシフトして、[b]MN[/b]という名前をつけます。そして、[b]Sequence(Mod(MN(k)-1, 12)+1,k,1,7)[/b]として複素数の番号を12個に納めます。[br]ここで、zip(pt(k),k,MN2)とするとMN2番目の頂点、つまりキーが２の[b]スケール音名を強調[/b]できますね。[br][br]最後に和音がサイクリックな音名の関係、つまり円環構造なので、[br][b]スケール上の３和音、４和音の点を多角形の頂点[/b]として選びだしましょう。[br]3和音ならば、その和音がキーのi 番目なら、[b]Cp3＝｛MN2(i),MN2(i+2),MN2(i+4)｝と番号リスト[/b]を作ります。すると、12等分の点から[b]polygon(pt(Cp3(1)),pt(Cp3(2)),pt(Cp3(3)))[/b][br]とするだけで三角形が指定できます。[br]４和音場合は、スケール上の位置MN2で、さらに偶数番増やせばよいですね。[br]くわしくは、かくれた「数式」を広げて、グラフィックビューを一時的にせまくして、観察しましょう。