[i]Costruire un quadrilatero ciclico convesso, conoscendo le lunghezze dei suoi lati in un ordine dato.[/i][br][br]Naturalmente si suppone l’esistenza del quadrilatero convesso e questo si verifica quando la somma delle lunghezze di tre lati è sempre maggiore del quarto lato.[br][br]Se ABCD è un quadrilatero ciclico per il teorema di Carnot applicato ai triangoli ABD e BCD valgono le relazioni:[br][center]e[sup]2[/sup] = a[sup]2[/sup] + d[sup]2[/sup] − 2ad cosα e e[sup]2[/sup] = b[sup]2[/sup] + c[sup]2[/sup] − 2bc cos(π − α)[/center]dove e è la misura della diagonale BD e α l'angolo relativo al vertice A.[br]Dalle due relazioni si ricava che[br][center]cosα = (a[sup]2[/sup] + d[sup]2[/sup] − (b[sup]2[/sup] + c[sup]2[/sup]))/(2(ad + bc)).[/center]Una volta calcolato il cosα è possibile costruire il quadrilatero ciclico ABCD. [br]Supponiamo cosα > 0.[br][list=1][*]Costruiamo il punto A e la circonferenza di centro A e raggio a e vincoliamo un punto B alla circonferenza. Tracciamo la retta AB. Tracciamo la circonferenza di centro A e raggio cosα, la intersechiamo con la retta AB e consideriamo punto H d'intersezione dalla parte di B. Tracciamo la circonferenza di raggio unitario e la intersechiamo con la perpendicolare ad AB per H nel punto K. Tracciamo la retta AK. Per costruzione la misura dell'angolo ∠HAK è α.[/*][*]Costruiamo il punto D intersezione tra la circonferenza di centro A e raggio d e la retta AK.[/*][*]Costruiamo il punto C intersezione tra la circonferenza di centro B e raggio b e la circonferenza di centro D e raggio c.[/*][/list]Se cosα < 0 si sceglie il punto H dalla parte opposta a B, se cosα = 0 si fa coincidere H con A.[br][br]Nella seguente figura dinamica il segmento di lunghezza cosα non è costruito con riga e compasso ma "calcolato". Si pone il problema di costruire con riga e compasso il segmento di lunghezza cosα . Le operazioni algebriche coinvolte sono tutte elementari ed è necessaria solo un po’ di pazienza perché gli oggetti geometrici da costruire sono molti.

La costruzione con riga e compasso del segmento di lunghezza cosα si trova all'indirizzo https://www.geogebra.org/m/kdetmrmc.