このワークシートは[url=https://www.geogebra.org/m/twxxx3yq]Math by Code[/url]の一部です。[br][br][b][color=#0000ff]ゼータ関数[/color][/b]が[b][color=#0000ff][url=https://www.geogebra.org/m/twxxx3yq#material/qt2yfyp5]オイラー積[/url][/color][/b]に直せることで、[br]級数という「たし算」と素数を使った「かけ算」をつなぐことができることが、[br]オイラーのおかげでわかった。[br]ゼータ関数の探求のきっかけは、「調和級数の発散」、「バーゼル問題」だった。[br]オイラーが生きた、のどかで自由奔放な[b]近代の代数的な関数観の時代[/b]が終わり、[br]リーマンの現代数学につながる[b]解析的な関数の時代[/b]になると、[br][br][b][url=https://www.geogebra.org/m/twxxx3yq#material/fc5ezcnt]ゼータ関数[/url]が再定義[/b]されることになったね。[br]それが、リーマン・ゼータ関数だ。[br]平たく言えば、ゼータ関数の[b]変数を実数から複素数に[url=https://www.geogebra.org/m/twxxx3yq#material/rawvqvcc]解析接続[/url]した[/b]のだった。[br][br]でもことはそれだけではすまなかった。[br]そもそも、リーマンは「素数定理」を証明するために、[br][b]ゼータ関数を利用して、「リーマン予想」を証明の道具にしたかったようなのだ[/b]。[br]しかし、皮肉なことに、「素数定理」は別に[b][color=#0000ff]リーマン予想が証明できなくても成立する[/color][/b]ことが後にわかり、[br]道具だったはずの「[b][color=#0000ff]リーマン予想が未解決のまま[/color][/b]」残っている。[br][br]今回は、リーマン予想の動機、その内容、近似について具体的に見ていこう。[br]ただ、級数の処理が天下りになるところがいくつかあります。[br]興味のある人は導き方の行間を自分でうめてください。

[b][size=150]＜ざーっと見渡す、オーバービュー＞[br][/size][/b][br]リーマンが 1859年にかいた「与えられた数より小さい素数の個数について」[br]の中での主張は、次の７つ。[br]そのうち６番だけが証明されていないということだ。[br][br]順にポイントをイメージしてみよう。[br][br]ゼータ関数ζ (s) = Σn^(-s)=Π(1-p(-s))^(-1)( s=σ+it, sは複素数、pは全素数、Σは無限級数）[br]これは、式の上では[b]実数のときとかわらない[/b]。[br][br](1) 「[b]唯一の火山は点s=1だけだ[/b]」　[br]　ζ(s）はs =1 以外の全平面で正則。s=1は1位の極でその留数は１。[br]　つまり、(s-1) ζ (s) とζ(s)-1/(s-1)はともに整関数（全域で正則）[br](2) 「関数等式による対称性、[b][color=#0000ff]Re(s)=1/2で線対称な世界[/color][/b]」[br]　 sと1－sの入れ替えでAは不変である。A＝[b]Γ(s/2)[/b] π^(-s/2) ζ(s)　[br]　ゼータ関数はガンマ関数とつながっている。[br](3) 「[b]零点(＝0の解となる点s）の[/b][b]存在ゾーン[/b]」[br]　零点には(２)からガンマ関数ゆずりの負の偶数－２nのように自明なものがあるけれど、[br]　独自の零点がσ=Re(s)は０と１の間に無数にあり、σ=1/2に対し対称。[br](4) 「[b]零点の絶対値の逆数の和は発散する[/b]」[br]　ζ(s）の虚の零点をρ=β＋iγとすると、Σ1/|ρ|＝∞[br](5)「[b] 正則化した式の積分解は零点の理由につながる[/b]」[br]　(s-1) ζ (s)＝Ae^BsΠ(1-s/ρ)e^(s/ρ)と分解できる。[br](6) 「今でも[b]定理になれないリーマン予想H.S.[/b]」Rieman Hypothesis [br]　[b][color=#0000ff]ζ(s）のσ=Re(s)は０と１の間の零点はすべてσ=1/2の上だけにある[/color][/b]。[br](7) 「[b]素数定理[/b]」（リーマンの意図したゴール）[br][br]（７）素数定理は後の数学者により、より精緻化されていくのですが、（６）のリーマン予想はいろいろな言い換えや関連づけ、数値計算など、数学者だけでなく物理学者も巻き込み研究が進んでいますが、まだ、証明はできていません。オーバービューはここまで。[br]

[size=150][b]リーマン・ゼータ関数の極と零点[br]＜火山をさけて接続する＞[br][/b][/size][br]ｓが実数の場合を思いだそう。[br]ゼータ関数ζ(s)はs=1のとき、つまり調和級数は発散しましたね。[br]１に限らず、sが１以下なら発散します。[br][br]ゼータ関数ζ(s)を解析接続しよう。[br][b]右半領域[/b]で、整数nの恒等式1/n^s=1/Γ(s) ∫e^(-nt)t^(s-1)dtから[br]Re(s)が１より大きい領域で無限和をとると、[br][b]ζ(s)=1/Γ(s)∫t^(s-1)/(e^t-1)dt[/b]となる。[br]しかし、このままではt=0のときに爆発します。[br][br]その爆発をさけるために、実数の綱渡りから、複素平面に次元を上げよう。[br]任意の点sでの積分J(s)=∫_C(-z)^(s-1)/(e^z-1)dzを考えます。[br]Cは実軸の右半分をεだけ虚軸方向に上下に平行移動した２半直線を[br]原点中心で半径εの左半平面の半円周をつなぎ、+∞から+∞へと進むUターン経路、[br]ハンケル経路で積分することで、[b]J(s)は整関数[/b]となる。[br][br]ε→0として、Re(s)が１より大きいときJ(s)＝-2i sin(πs)Γ(s)ζ(s)となるため、[br][b]ζ(s)＝-1/2πi Γ(1-s)J(s)[/b]となる。[br]これでJ(s)は正則で、Γ(1－s）がs=1で爆発するだけに、ζ(s)は点s=1以外で解析接続されました。[br]Cを連続変形して半径εの円にすれば、J(1）=2πi。[br]s→1のとき、(s-1)ζ(s)→1となるので、s[b]=1はζ(s)の1位の極で、留数は１[/b]。

[b][size=150]＜零点について調べる＞[br][/size][/b][br]ζ(s)はオイラー積表示できる。[br]一方でΠ(1-1/p^s)はRe(s)が１より大きい領域で絶対収束して正則する。[br]だから、Re(s)が１より大きい領域ではζ(s)＝Π(1-1/p^s)^-1がゼロになることはありません。[br][br]１．Re(s)が１より大きいと零点はない。[br][br]２．自明な零点は負の実軸に横並び。[br][br]関数等式[br][b]2^(s-1)Γ(s) ζ(s) cos(sπ/2) ＝π^s ζ(1-s)[br][/b]を書き換えると、[br][b]ζ(s) ＝2^(s-1)π^s/{Γ(s)cos(sπ/2) }ζ(1-s)[br][/b]となる。この分母をη(s)とおくと、[br][b]η(s)＝Γ(s)cos(sπ/2)[br][/b]はRe(s)が負の領域で有理型で１位の極s=-2n(nは整数）に限る。[br]だから、[b]この逆数1/η(s)は零点になる[/b]。[br]ということは、ζ(s) の左半平面の零点は-2nで、その位数は１で、これを[b]自明な零点[/b]という。。[br][br]３．非自明な零点はRe(s)=1/2でたて並び。[br][br]だから、[b]非自明な零点[/b]は実部が0以上１以下のゾーンにある。[br]非自明な零点は、たぶん関数等式の線対称に着目して、[br]Re(s)=1/2にあるという予想をリーマンは立てた。[br][br][color=#9900ff][b][u][size=150]課題：[b]η(s)の[/b]１位の極が逆転して零点になることを感じよう。[br][/size][/u][/b][/color][br]１/∞＝０というのが、関数でもいえるね。[br][br]タイトル「１位の極の逆数は零点」[br]f(x)=gamma(x)[br]a(x)=cos(x pi/2)[br]l1=sequence((-2k,0),k,0,10)[br]b(x)=f(x)a(x)[br]h(x)=1/b(x)[br][b][br]分母の [code]b(x) = f(x) * a(x)を観察してみよう。[/code][/b][br]ガンマ関数f(x)「負の整数（ 0, -1, -2, -3 … ）の爆発」[br]サイン関数a(x) 「負の奇数でのゼロ」が激しく干渉し合います[br]その結果、[br]負の奇数の場所では∞×0の効果で、ゼロにならなくても爆発はやみます。[br]負の偶数の場所では∞×±1の効果で、爆発は温存されてしまいます。[br][br]それを、ひっくり返すと、[br]負の偶数の場所では1/∞＝０となり、[b]零点[/b]がきれいにならびます。[br][br]それがl1の点（[b]負の偶数点[/b]）とピタッとあうのが心地よいですね。

たて並びの零点を数値計算してみよう。[br][br][size=150][b]＜クサイ関数で単純化＞[br][color=#0000ff][size=200]ξ(s)=π^(-s/2)Γ(s/2)s(s-1)/2 ζ(s)[br][/size][/color][/b]とおくと、関数等式[br]π^(-s/2)Γ(s/2)ζ(s)=π^((s-1)/2)Γ((1-s)/2)ζ(1-s)[br]を[br][/size][b][color=#0000ff][size=200]ξ(s)=ξ(1-s)[/size][/color][br][/b]と単純にかける。[br]Re(s)=1/2のゼータζ(s)の零点1/2+itのtを求めるには、[br]Re(s)=1/2のクサイξ(s)の零点1/2+itのtを求めればよく、[br]鏡像原理より、実軸について対称な点は共役な値になるから、[br]ξ(1/2+it)=conjugate(ξ(1/2-it))[br]となるので、[b]t>0の範囲で求めれば対称点もわかる[/b]。[br][br][b][size=150]＜ハーディーのZ関数＞[/size][/b][br][b]u=1/4+it/2とおき、[br]A(t)=π^(-1/4)e^Re(logΓ(u) *(t^2+1/4)/(-2)＜０いつも負。[br]θ(t)=Im(log Γ(u))-1/2 tlogπ [br]Z(t)=e^(iθ(t)) ζ(1/2+it)[br][/b]と３つのtの関数にまとると、[br]ξ(1/2+it)=A(t)Z(t)からZ(t)の符号はA(t)と逆。[br]だから、Z(t)の符号変化から、Z(a)＝0となるZの零点aを探せる。[br]次のような公式群によって、Z(t)、θ(t)を近似計算するときに使える。[br][br][b][size=150]＜オイラー・マクローリンの和公式＞[br][/size]オイラーの和公式[/b][br][b][size=150][size=200]Σ[sub]M[/sub] [sup]N[/sup] f(n)[br]=∫[sub]M[/sub][sup]N[/sup]f(x)dx[br]+(f(M)+f(N))/2[br]+ΣB2j/(2j)![f(2j-1)(x)][sub]M[/sub][sup]N[/sup][br]+誤差項∫[sub]M[/sub][sup]N[/sup](x-[x]-1/2)f'(x)dx[br][/size][/size][/b][br]誤差項はさらに細分できる。[br]関数[b]z/(e^z-1)[/b]をマクローリン展開した係数が[br][b]ベルヌーイ数Bn(B0=1,B1=-1/2,B2=1/6,B4=-1/30,B6=1/42,[br]B8=-1/30、B10=5/66,B12=-691/2730,....)で、[br][/b]ベルヌーイ多項式Bn(x)=B0x^n+(nC1)B1x^(n-1)+...+(nCn-1)Bn-1x+Bn[br]、Bn(0)=Bn(1)=Bnや微分の関係式 Bn'(x)=n Bn-1(x)がある。[br]これらから誤差項は、[br]∫_M^N(x-[x]-1/2)f'(x)dx[br]＝[B2/2 f'(x)]_M^N- 1/2 ∫_M^N B2(x)(x-[x])f''(x)dx[br][br]誤差項をこのように細分化したものが[br][b]オイラー・マクローリンの和公式[/b][br]たとえば、[br]N=∞、M=6,k=1でζ(2)をオイラー・マクローリンの和公式で近似してみよう。[br][br][b]ζ(2)=1+1/2^2+...+1/5^2＋Σ1/n^2[br][/b]=1+1/2^2+...+1/5^2[br]+∫_6^∞1/x^2 dx L [br]+(1/6^2)/2[br]+B2/2![-2/x^3]_6^∞+R2[br]=1.6449382+R2[br][br]オイラーの公式ζ(2m)=(2π)^2m(-1)^(m+1) B2m/(2(2m)!から[br][b]ζ(2)=π^2/6[br][/b]=1.644934...[br][br]よい近似になっているね。[br][b][br]＜ゼータ関数にも[/b][b]オイラー・マクローリンの和公式を＞[br][/b]近似がすばらしいので、オイラー・マクローリンの和公式を[br]ゼータ関数にも使おう。[br][b][size=200]ζ(s)=Σ[sub]n=1[/sub][sup]M-1[/sup] 1/n[sup]s[br][/sup]+M[sup](1-s)[/sup]/(s-1)[br]+1/2×M[sup](-s)[br][/sup][/size][b][size=200]+[/size][/b][size=200][size=150]Σ[sub]j=1[/sub][sup]k[/sup] B2j/(2j)!×M[sup](1-s-2j)[/sup]Π[sub]l=0 [/sub][sup]2k-2[/sup][/size][/size](s+l)[size=200][color=#0000ff][size=150][br][/size]+R2k[br][/color][/size][/b][br][br]M=6,k=2,[b]s=1/2+ti[/b]として、[br][br][b][size=200][color=#0000ff]ζ(s)=Σ[sub]n=1[/sub][sup]5[/sup] 1/n[sup]s[br][/sup]+6[sup](1-s)[/sup]/(s-1)[br]+1/2×6[sup](-s)[br][/sup]+B2/2!×6[sup](-s-1)[/sup]×s[br]+B4/4!×6[sup](-s-3)[/sup]×s(s+1)(s+2)[br]+R4[br][/color][/size][/b][br]B2=1/6[br]B4=-1/30。[br][br]せっかく文明の利器があるので、geogebraでシミュレーションしてみよう。[br][br][color=#9900ff][b][u][size=150]課題：リーマン予想の虚部ｔをgeogebraで見える化するにはどうしたらよいでしょうか。[br][/size][/u][/b][/color][br]タイトル「リーマン予想：ζ(1/2+ti)がゴール0+0iに入るztを見逃すな」[br]t=slider(0,50,0.001)[br]s=1/2+t i[br]u=1-s[br]v=s+1[br]w=s+2[br]b=s+3[br][br]A=Sum(1/n^s,n,1,5)[br]p=6^(u)/-u[br]q=1/2*6^(-s)[br]r=1/6/2*6^(-v)*s[br]c=-1/(30*24)*6^(-b) s*v*w[br]zt=A+p+q+r+c[br]tのアニメーションをスピード0.1で動きを増加にする。[br]goal=0+0i[br]a=if(abs(real(zt))<0.1 ∧ abs(imaginary(zt))<0.1, t,0)[br]text1=""+a+""[br]text1を太字の大きな文字にしよう。点ztはふらふら動くけれども、[br]t=14, [br]t=21[br]t=25[br]t=30[br]t=33 [br]t=37[br]のあたりで、[br]デカデカとｔの値が表示されるでしょう。[br][br][b][size=200][color=#0000ff][br][/color][/size][/b]