La integral de línea de [math]f(x,y,z)[/math] con respecto a la longitud del arco a lo largo de la curva orientada [math]C[/math][br]en el espacio tridimensional, escrito [math]\int_Cf(x,y,z)ds[/math], está definida por[br] [br] [math]\int_Cf\left(x,y,z\right)ds=lim_{\parallel P\parallel\longrightarrow0}\sum^n_{i=1}f\left(x^{\ast}_1,y^{\ast}_i,z^{\ast}_i\right)\bigtriangleup s_i,[/math][br][br]siempre que el límite exista y sea el mismo para todas las opciones de puntos de evaluación.

Suponga que [math]f(x,y,z)[/math] es continua en una región [math]D[/math] que contiene la curva [math]C[/math] y que [math]C[/math] se describe paramétricamente por [math](x(t),y(t),z(t))[/math], para [math]a\le t\le b[/math], donde [math]x(t)[/math], [math]y(t)[/math] y [math]z(t)[/math] tienen primeras derivadas continuas. Entonces,[br][br] [math]\int_Cf\left(x,y,z\right)ds=\int^b_af\left(x\left(t\right),y\left(t\right),z\left(t\right)\right)\sqrt{\left[x'\left(t\right)\right]^2+\left[y'\left(t\right)\right]^2+\left[z'\left(t\right)\right]^2}dt.[/math][br][br]Suponga que [math]f(x,y)[/math] es continua en una región [math]D[/math] que contiene la curva [math]C[/math] y que [math]C[/math] es descrito paramétricamente por [math](x(t),y(t))[/math], para [math]a\le t\le b[/math], donde [math]x(t)[/math] e [math]y(t)[/math] tienen primeras derivadas continuas. Entonces[br][br] [math]\int_Cf\left(x,y\right)ds=\int^b_af\left(x\left(t\right),y\left(t\right)\right)\sqrt{\left[x'\left(t\right)\right]^2+\left[y'\left(t\right)\right]^2}dt.[/math]

[size=150][b]1.-[/b][math]\text{f (x, y) = 2x}[/math][b], [/b][math]C[/math][b] es el segmento de línea de [/b][math](1,2)[/math][b] a [/b][math](3,5)[/math][b].[/b][/size][br][br]Entonces, tenemos la ecuación del segmento de línea que conecta los puntos (1, 2) y (3, 5) es:[br][br] [math]\text{y - 2 = m(x - 1)}[/math][br][br]Entonces, calculamos la pendiente(m):[br][br] [math]m=\frac{\left(y_2-y_1\right)}{\left(x_2-x_1\right)}=\frac{\left(5-2\right)}{\left(3-1\right)}=\frac{3}{2}[/math][br][br]Ahora, utilizando la ecuación de la recta:[br][br] [math]\text{y - 2 = (\frac{3}{2})(x - 1)}\Longrightarrow y-2=\left(\frac{3}{2}\right)x-\frac{3}{2}\Longrightarrow y=\left(\frac{3}{2}\right)x+\frac{1}{2}[/math][br][br]se puede expresar la curva C como, en este caso tomamos a x(t) como valor libre y a y(t) en términos de x:[br][br] [math]x=t,y=\left(\frac{3}{2}\right)x+\frac{1}{2}[/math][br]donde t varía de 1 a 3.[br][br]Ahora, calculamos la longitud de arco de la curva C:[br][br] [math]ds=\sqrt{\left[x'\left(t\right)\right]^2+\left[y'\left(t\right)\right]^2}dt=\sqrt{\left[1\right]^2+\left[\frac{3}{2}\right]^2}dt=\sqrt{1+\frac{9}{4}}dt=\sqrt{\frac{13}{4}}dt=\frac{\sqrt{13}}{2}dt[/math][br][br]Por lo tanto, la integral de línea [math]\int_Cfds[/math] se puede calcular como:[br][br] [math]\int_Cfds=\int^3_1\frac{2x\sqrt{13}}{2}dt=\sqrt{13}\int^3_1tdt=\sqrt{13}\left[\frac{t^2}{2}\right]^3_1=\sqrt{13}\left[\frac{3^2}{2}-\frac{1^2}{2}\right]=\sqrt{13}\left[\frac{9}{2}-\frac{1}{2}\right]=4\sqrt{13}[/math][br][br]Por lo tanto, la solución de la integral de línea [math]4\sqrt{13}[/math].

[size=150][b]5.-[/b][math]f(x,y)=3x[/math][b], [/b][math]C[/math][b] es el cuarto de círculo [/b][math]x^2+y^2=4[/math][b] de (2, 0) a (0, 2).[br][/b][/size][br]La ecuación del cuarto de círculo [math]x^2+y^2=4[/math] se puede parametrizar como:[br][br][math]x=2cos(t),y=2sin(t)[/math][br][br]donde t va desde 0 hasta π/2.[br][br]Entonces, la longitud de arco de la curva C se puede calcular como:[br][br] [math]ds=\sqrt{\left[x'\left(t\right)\right]^2+\left[y'\left(t\right)\right]^2}dt=\sqrt{\left[-2sin\left(t\right)\right]^2+\left[2cos\left(t\right)\right]^2}dt=\sqrt{4\left(sin^2\left(t\right)+cos^2\left(t\right)\right)}dt=\sqrt{4\left(1\right)}dt=\sqrt{4}dt=2dt[/math][br][br]Por lo tanto, la integral de línea [math]\int_Cfds[/math] se puede calcular como:[br][br] [math]\int_Cfds=\int_0^{\frac{\pi}{2}}3x*2dt=6\int_0^{\frac{\pi}{2}}2cos(t)dt=6[2sin(\pi/2)-2sin(0)]=12[/math][br][br]Por lo tanto, la solución de la integral de línea es 12.

[size=150][b]9.-[/b][math]f(x,y)=3x[/math][b], C es el segmento de línea de (0, 0) a (1, 0), seguido por el cuarto de círculo a (0, 1).[br][/b][/size][br]Para el primer segmento de línea de (0, 0) a (1, 0), la ecuación paramétrica es:[br][br] [math]y-0=m\left(x-0\right)[/math], [math]m=\frac{\left(y_2-y_1\right)}{\left(x_2-x_1\right)}=\frac{\left(0-0\right)}{\left(1-0\right)}=\frac{0}{1}=0[/math], [math]y-0=\left(0\right)\left(x-0\right)\Longrightarrow y=0[/math][br][br]Entonces, las ecuaciones paramétricas queda de la sig. manera:[br][br] [math]\text{x = t, y = 0}[/math] [br]donde t varía de 0 a 1.[br][br]La longitud de arco de este segmento es:[br][br] [math]ds=\sqrt{\left[x'\left(t\right)\right]^2+\left[y'\left(t\right)\right]^2}dt=\sqrt{\left(1\right)^2+\left(0\right)^2}dt=\sqrt{1}dt=1dt[/math][br][br]Ahora, para el segundo segmento, el círculo (1, 0) a (0, 1), la ecuación paramétrica es:[br][br] [math]x=cos(t),y=sin(t)[/math][br]donde t varía de 0 a π/2.[br][br]La longitud de arco de este segmento es:[br][br] [math]ds=\sqrt{\left[x'\left(t\right)\right]^2+\left[y'\left(t\right)\right]^2}dt=\sqrt{\left(-sen\left(t\right)\right)^2+\left(cos\left(t\right)\right)^2}dt=\sqrt{sen^2\left(t\right)+cos^2\left(t\right)}dt=\sqrt{1}dt=1dt[/math][br][br]Por lo tanto, la integral de línea [math]\int_Cfds[/math] se puede dividir en dos integrales:[br][br][math]\int_Cfds=\int_0^13tdt+\int_0^{\frac{\pi}{2}}3cos(t)dt=\left[(3/2)t^2\right]^1_0+\left[3sin\left(t\right)\right]^{\frac{\pi}{2}}_0=\frac{3}{2}\left(\left(1\right)^2-\left(0\right)^2\right)+3[sin(\pi/2)-sin(0)]=\frac{3}{2}+3=\frac{9}{2}[/math][br][br]Por lo tanto, la solución de la integral de línea es [math]\frac{9}{2}[/math].[br][br][br]