Die [color=#980000][b]Normalverteilung[/b][/color] wird auch [b][color=#980000]Gauß-Verteilung[/color][/b] genannt. Es gibt viele Dinge, die statistisch als "Gauß-verteilt" gelten. Wenn eine Größe Gauß-verteilt ist, dann sieht ihre Verteilungsfunktion aus, wie eine Gauß'sche Glockenkurve. Dafür gibt es viele Beispiele:[br][list][*]Die Körpergröße von Männern und Frauen[/*][*]Länge von Haaren[/*][*]Blutdruck[/*][*]Viele Messfehler in Naturwissenschaften und Technik[/*][*]Wetterdaten wie Regenmenge oder Sonennscheindauer[/*][*]und vieles, vieles mehr[/*][/list]Im Gegensatz zur Binomialverteilung geht es hier nicht um die Häufigkeit, mit der ein bestimmtes Ereignis eintritt. Eine solche Häufigkeit kann man immer mit ganzen Zahlen angeben. [br]Die oben genannten Beispiele sind [i][b][color=#980000]stetige Zufallsvariablen[/color][/b][/i]. Bei der Körpergröße gibt es eben nicht nur die Möglichkeit, dass Sie 180 Zentimeter, 181 Zentimeter oder 182 Zentimeter groß sind, sondern es ist auch jeder Wert dazwischen möglich. Daher nennt man solche Zufallsvariablen [b]stetig[/b].
Um bei stetigen Zufallsvariablen die Normalverteilung anwenden zu können, müssen ein [b]Erwartungswert[/b] [math]\mu[/math] und eine [b]Standardabweichung[/b] [math]\sigma[/math] bekannt sein. Dann gilt:[br][math]\Large n_{\mu,\sigma}(x)=\frac 1{\sqrt{2\,\pi}}\,e^{-\frac{1}{2}\cdot\left(\frac {x-\mu}{\sigma}\right)^2}[/math]
Wenn man mit der Normalverteilung arbeitet, dann arbeitet man eigentlich immer mit Integralen.[br]Nehmen wir an, Sie haben ein Betrieb, der Schrauben herstellt. Diese Schrauben sollen eine Länge von 40 mm haben. In der Praxis sind aber nicht alle Schrauben gleich lang. Im Herstellungsprozess gibt es an vielen Stellen Ungenauigkeiten. Sie wissen aber, dass der Erwartungswert der Schrauben bei 40 mm liegt, und dass es im Herstellungsprozess eine Standardabweichung von 0,7 mm gibt.[br]Welche Fragen könnte man dann stellen?[br][br]
Wie viel Schrauben haben eine Länge von [math]\mu-\sigma[/math] bis [math]\mu+\sigma[/math], also von 39,3mm bis 40,7mm?
Diese Frage ist ohne Rechnung leicht mit den Sigmaregeln zu beantworten: [br]In der einfachen [math]\sigma[/math]-Umgebung liegen 68,3% aller Schrauben.
Wie viel Prozent der Schrauben sind zwischen 39 mm und 41 mm lang?
Nun müssen wir integrieren:[br][math]\int_{39 mm}^{41 mm} n(40;0,7)dx=\int_{39 mm}^{41 mm} \frac{1}{\sqrt{2\,\pi}\cdot 0,7mm}\,e^{-\frac 12\cdot \left(\frac{x-40mm}{0,7mm}\right)^2}dx=0,8469\approx85\%[/math]
Wie viel Schrauben sind länger als 42 mm?
[math]\int_{42 mm}^{\infty mm} n(40;0,7)dx=\int_{42 mm}^{\infty mm} \frac{1}{\sqrt{2\,\pi}\cdot 0,7mm}\,e^{-\frac 12\cdot \left(\frac{x-40mm}{0,7mm}\right)^2}dx=0,00214\approx 0,2\%[/math]
In allen CAS-Systemen, so auch im HP-Prime gibt es vordefinierte Funktionen, um mit der Normalverteilung zu rechnen:[br][br]Um den [b][color=#980000]Funktionswert[/color][/b] an der Stelle [math]x=39[/math] der Normalverteilung mit dem Erwartungswert [math]40[/math] und der Standardabweichung [math]0,7[/math] zu berechnen, also [math]n_{40\,;\,0,7} (x)[/math], drücken Sie die folgende Tastenkombination:[br][br][Werkzeugkasten] + Karteireiter "Math" + "5" (Wahrscheinlichkeit) +"6" (Dichte) + "1" (Normal). [br][br]Dann steht im Display [b][color=#0000ff]normald()[/color][/b]. [br][br]Hier tragen Sie nun als ersten Parameter den Erwartungswert, als zweiten die Standardabweichung und als dritte Zahl den Wert für das [math]x[/math] ein: [b][color=#0000ff]normald(40 , 0.7 , 39)[/color][/b].[br][br][br]Um ein [b][color=#980000]Integral unter der Normalverteilung[/color][/b] zu berechnen gehen Sie ähnlich vor: Nehmen Sie an, Sie möchten von 39 bis 41 integrieren:[br][br][math]\int_{39 }^{41 } n_{40\,;\,0,7}(x)dx=\int_{39 }^{41} \frac{1}{\sqrt{2\,\pi}\cdot 0,7}\,e^{-\frac 12\cdot \left(\frac{x-40}{0,7}\right)^2}dx[/math][br][br]Drücken Sie die folgende Tastenkombination:[br][br][Werkzeugkasten] + Karteireiter "Math" + "5" (Wahrscheinlichkeit) +"7" (Kumulativ) + "1" (Normal). [br][br]Dann steht im Display [b][color=#0000ff]normald_cdf()[/color][/b]. [br][br]Hier tragen Sie nun als ersten Parameter den Erwartungswert, als zweiten die Standardabweichung und als dritte und vierte Zahl die Integrationsgrenzen ein: [br][b][color=#0000ff]normald_cdf(40 , 0.7 , 39 , 41)[/color][/b].[br]