Nessa atividade, vamos investigar como desenhar triângulos a partir de algumas medidas conhecidas, que podem se referir aos seus ângulos ou lados. [br][br]Antes de passarmos ao desenho propriamente dito, precisamos descobrir quantas e quais informações são necessárias para determinar um triângulo de forma precisa. [br][br]Um triângulo possui três lados e três ângulos internos. Entretanto, não é preciso conhecer todas essas seis medidas para definir um triângulo, bastando três delas, desde que escolhidas adequadamente. [br][br]Vejamos, então, as combinações possíveis de três medidas do triângulo:[br][br][list][*]LLL (três lados)[/*][*]LLA (dois lados e um ângulo não compreendido entre eles)[/*][*]LAL (três lados e o ângulo compreendido entre eles)[/*][*]LAA (dois ângulos e uma lado não compreendido entre eles)[/*][*]ALA (dois ângulos e o lado compreendido entre eles)[/*][*]AAA (três ângulos)[/*][/list][br]Nesse ponto, deve ficar claro que os demais arranjos das letras L e A são equivalentes às combinações mostradas acima (a forma ALL é equivalente a LLA, e a forma AAL é equivalente a LAA).[br][br]Das seis combinações acima, [br][br][list=1][*]Quatro formas são perfeitamente adequadas: LLL, LAL, LAA e ALA. [/*][*]A forma AAA não gera unicamente um triângulo.[/*][*]A forma LLA gera unicamente um triângulo apenas sob certas condições.[/*][/list][br]Conhecidas as combinações adequadas, vamos aprender a trabalhar com algumas ferramentas do GeoGebra.

Você já deve ter notado que todas as combinações válidas para o traçado de um triângulo envolvem o conhecimento da medida de um de seus lados. Em nossa atividade, suporemos que esse lado é horizontal e que ele servirá como base do triângulo. A vantagem dessa abordagem é que ela nos permite definir a posição dos dois primeiros vértices do triângulo, restando apenas a localização do terceiro vértice para que o triângulo possa ser desenhado.[br][br]Tente você mesmo desenhar um segmento horizontal de comprimento igual a 6, usando a ferramenta "Segmento". Considere que a distância entre dois traços grossos sucessivos da janela é igual a 1.

Suponha que você já tenha traçado o primeiro lado do triângulo, desenhando um segmento horizontal com o comprimento desejado. Vamos investigar agora como definir um segundo lado do triângulo, do qual conhecemos apenas seu comprimento, mas não o ângulo entre ele e o lado horizontal. [br][br]Suporemos, por simplicidade, que o novo lado partirá da extremidade esquerda do primeiro lado (se você preferir, pode traçá-lo a partir da extremidade direita). Mas como traçar esse lado sem conhecer o ângulo que ele faz com o primeiro lado? Observe que há infinitas posições possíveis para tal lado, cada uma com um ângulo diferente. [br][br]Para definir todas essas possibilidades, se estivéssemos trabalhando no papel, abriríamos um compasso até que suas pontas distassem exatamente a medida do lado que queremos desenhar e traçaríamos uma circunferência com centro na extremidade esquerda do lado horizontal. No GeoGebra, isso é feito com o auxílio da ferramenta "Círculo: centro & raio", que faz o papel do nosso compasso.[br][br]Usando a janela abaixo, desenhe um lado horizontal com 8 unidades de comprimento. Em seguida, para desenhar todas as possíveis posições de um segundo lado que mede 5 unidades, desenhe uma circunferência com raio igual a 5 e centro na extremidade esquerda do segmento de reta horizontal.[br]Note que todos os pontos sobre a circunferência distam exatamente 5 unidades de seu centro, de modo que um desses pontos será o terceiro vértice do triângulo.

Finalmente, vamos tentar definir um ângulo do triângulo. Mais uma vez, vamos supor que seu vértice seja a extremidade esquerda do primeiro lado, embora o procedimento possa ser aplicado à extremidade direita. [br]Se estivéssemos trabalhando no papel, isso seria feito com o auxílio de um transferidor e uma régua. No GeoGebra, a ferramenta "Ângulo com amplitude fixa" substituirá o transferidor e o ferramenta "Semirreta" fará o papel da régua.[br][br]Na janela a seguir, trace um lado horizontal com 7 unidades de comprimento. Se esse for o primeiro elemento que você desenhou na janela e se você tiver traçado o segmento da esquerda para a direita, a extremidade esquerda do segmento terá recebido o rótulo "A" e a extremidade direita será "B".[br][br]Para desenhar um ângulo que tenha vértice na extremidade esquerda (A) e que faça um ângulo de 60[sup]o[/sup] com o segmento horizontal, clique no botão "Ângulo com amplitude fixa" e, em seguida, clique em B (extremidade direita) e em A, nessa ordem. Observe que, com isso, aparecerá uma janela para que você defina o ângulo desejado. Escreva, então, 60 nessa janela e aperte "Ok". Isso fará com que surja na tela um ângulo de 60[sup]o[/sup] e mais um ponto (provavelmente denominado B'). Para desenhar uma semirreta que contenha o possível lado do triângulo, use o botão "Semirreta", clicando em seguida em A e em B', nessa ordem.[br][br]Observe que você pode não conhecer o comprimento desse segundo lado, mas já sabe em que posição ele estará, porque conhece o ângulo que ele faz com o lado horizontal.[br][br]Para desenhar um ângulo com relação à extremidade direita do segmento horizontal, use a ferramenta "Ângulo com amplitude fixa", mas clique primeiramente no ponto A (extremidade esquerda) e, em seguida, no ponto B (extremidade direita). Nesse caso, você terá que informar que seu ângulo será traçado no "sentido horário" (opcionalmente, você pode definir um ângulo negativo).

Agora que você já sabe como manipular os elementos que formam um triângulo, podemos passar ao desenho de triângulos.

Vamos tentar desenhar um triângulo cujas medidas dos lados sejam conhecidas. [br][br][list=1][*]Começamos traçando um segmento de reta horizontal, para representar um dos lados. [/*][*]Em seguida, traçamos um arco de circunferência com centro na extremidade esquerda do segmento já desenhado e com raio igual à medida do segundo lado. No GeoGebra, isso é feito com o auxílio da ferramenta "Círculo: centro & raio".[/*][*]Para encontrar o último lado, traçamos mais um arco de circunferência, com raio igual à medida do lado e centro na extremidade direita do segmento já desenhado. [/*][*]O ponto de interseção dos dois arcos definirá a posição do terceiro vértice do triângulo. De posse desse ponto, podemos traçar as arestas que faltam.[/*][/list][br]Tente desenhar um triângulo com lados 8, 7 e 5 na janela abaixo.

Nosso objetivo, agora, é desenhar um triângulo supondo conhecidas as medidas de dois lados e do ângulo compreendido entre eles. [br] [br][list=1][*]Começamos traçando um segmento de reta horizontal, para representar um dos lados. [/*][*]Agora, definimos o ângulo entre o segmento desenhado e o segundo lado com a ajuda de um transferidor. No GeoGebra, isso é feito com o auxílio das ferramentas "Ângulo com amplitude fixa" e "Semirreta".[/*][*]Finalmente, determinamos a posição do terceiro vértice traçando um arco de circunferência com a medida do segundo lado conhecido. O centro da circunferência deverá ser localizado no mesmo vértice usado para definir o ângulo. No GeoGebra, fazemos isso usando a ferramenta "Círculo: centro & raio".[/*][/list][br]Tente desenhar um triângulo com lados 3 e 6 e ângulo compreendido entre eles de 60[sup]o[/sup].

Também é possível desenhar um triângulo partindo da medida de um lado e dos ângulos a ele adjacentes. [br][br][list=1][*]Como sempre, começamos traçando um segmento horizontal, para representar o lado conhecido. [/*][*]Em seguida, usamos o transferidor para definir o primeiro ângulo, que deve ter vértice na extremidade esquerda do lado, e traçamos um segmento comprido que representa a semirreta que contém o segundo lado. No GeoGebra, isso é feito com o auxílio das ferramentas "Ângulo com amplitude fixa" e "Semirreta".[/*][*]Finalmente, usamos novamente o transferidor para definir o ângulo que falta (cujo vértice será a extremidade direita do lado horizontal), e traçamos uma segunda semirreta, que contém o terceiro lado. Mais uma vez, isso pode ser feito com o auxílio das ferramentas "Ângulo com amplitude fixa" e "Semirreta", tomando o cuidado de definir o ângulo no sentido horário.[/*][*]A interseção das semirretas corresponderá ao terceiro vértice do triângulo.[/*][/list][br]Tente desenhar um triângulo com um lado de medida 10, adjacente a um ângulo de 50[sup]o[/sup] e a outro ângulo de 40[sup]o[/sup]. Que tipo de triângulo você obteve?

Suponhamos, agora, que seja conhecido um lado do triângulo, bem como dois ângulos, um dos quais oposto ao lado. [br][br]Nesse caso, considerando o fato de que a soma dos ângulos internos de um triângulo equivale a 180[sup]o[/sup], é mais prático calcular a medida do terceiro ângulo e recair no caso ALA, descrito acima. [br][br]Tente aplicar essa ideia à obtenção do triângulo com lado de medida 7, e ângulos de 45[sup]o[/sup] e 35[sup]o[/sup], sendo esse último oposto ao lado.

Em nosso último caso, vamos supor que sejam conhecidos dois lados do triângulo, bem como uma ângulo que é adjacente a um dos lados e oposto ao outro lado. Como esse caso é mais complicado, vamos analisar separadamente duas situações. [br][br][b]Caso 1. O lado oposto ao ângulo é maior que o lado adjacente ao ângulo.[br][br][/b]Quando o lado oposto ao ângulo conhecido é maior que o lado adjacente a esse ângulo, o problema tem solução única. Os passos do traçado do triângulo são dados abaixo.[br][br][list=1][*]Começamos traçando um segmento horizontal, para representar o lado que é adjacente ao ângulo conhecido.[/*][*]A partir da extremidade esquerda desse lado, definimos o ângulo fornecido com a ajuda de um transferidor. No GeoGebra, isso é feito com o auxílio das ferramentas "Ângulo com amplitude fixa" e "Semirreta".[/*][*]Finalmente, determinamos a posição do terceiro vértice desenhando um arco de circunferência com a medida do segundo lado. Como centro da circunferência, devemos adotar a extremidade direita do lado horizontal. No GeoGebra, esse passo envolve o uso da ferramenta "Círculo: centro & raio".[/*][/list][br]Tente desenhar na janela abaixo um triângulo cujos lados conhecidos medem 4 e 5 unidades, e que tem um ângulo de 30[sup]o[/sup] que é adjacente ao lado que mede 4 e oposto ao lado que mede 5.

[b]Caso 2. O lado adjacente ao ângulo é maior que o lado oposto ao ângulo.[br][br][/b]Quando o lado adjacente ao ângulo conhecido é maior que o lado oposto a esse ângulo, o problema não costuma ter solução única. Para observar isso em uma situação concreta, tente desenhar na janela abaixo um triângulo cujos lados conhecidos medem 6 e 4 unidades, e que tem um ângulo de 30[sup]o[/sup] que é adjacente ao lado que mede 6 e oposto ao lado que mede 4. Use a mesma estratégia apresentada para o caso 1.

Usando o que que você aprendeu sobre o traçado de triângulos, desenhe a seguir um quadrilátero ABCD com um ângulo de 110[sup]o[/sup] entre os lados AB e AD e com medidas AB = 8, BC = 7, CD = 9 e AD = 6. [br][br]Dica: trace os lados AB e AD usando a estratégia LAL e, em seguida, os lados BC e CD usando a estratégia LLL.