[b]Problemstellung[/b][br]In einen kugelförmigen Behälter wird Wasser mit einer konstanten Zuflussmenge c pro Zeiteinheit eingefüllt. Die Kugel hat den Radius R. Berechne, wie sich die Füllhöhe h im Lauf der Zeit t ändert.[br][br][i]Lösung[/i][br]Das eingefüllte Wasser hat die Form einer Kugelkappe (Kugelsegment, Kugelkalotte) mit Radius R und Höhe h.[br]Ihr Volumen kann folgendermaßen berechnet werden:[br][math]V = \frac{h^2 \pi}{3}·(3R - h) = h^2 \pi R - \frac{h^3 \pi}{3}[/math][br][br]Wenn die Zuflussmenge konstant ist, ergibt sich [br] [math] \textbf{ h^2 \pi R - \frac{h^3 \pi}{3} = c·t } [/math][br]Die [b]Höhe h[/b] wird mit dieser [b]impliziten Funktionsgleichung[/b] festgelegt.[br][br][b]Aufgabe[/b][br]Verändere die Werte für den Radius R oder die Zuflussmenge c pro Zeiteinheit.[br]Wie lange braucht es, um den Kugel mit R = 1,5 und c = 3 zu füllen?[br]Wie lange dauert es, bis der Kugel gefüllt ist, wenn der Radius R verdoppelt wird? Begründe deine Antwort im Detail.

Die durch die implizite Form [math] h^2 \pi R - \frac{h^3 \pi}{3} = c·t [/math] gegebene Füllkurve für die Höhe h in Abhängigkeit von der Zeit t besitzt am Anfang und am Ende eine vertikal verlaufende Tangente. [br]Ist die Kugel gerade bis zur Hälfte gefüllt, verläuft die Zunahme der Höhe h wie bei einem Zylinder mit dem Radius R.[br]Dies kann man erkennen, wenn man die Gleichung der Füllkurve implizit nach t ableitet:[br] [math] h^2 \pi R - \frac{h^3 \pi}{3} = c·t [/math] [br] [math] 2h\cdot h' \cdot \pi R - h^2 \cdot h'\cdot \pi = c [/math] [br] [math] h' = \frac{ c}{2h \pi R - h^2 \pi} [/math] [br]Für [math]h=0[/math] und [math]h=2R[/math] ergibt sich [math]h'=\text{\infty }[/math], also eine senkrechte Tangente.[br]Für die Änderungsrate der Höhe in der Mitte der Kugel, also für [math]h=R[/math], folgt: [math] h' = \frac{ c}{2R \pi R - R^2 \pi} = \frac{ c}{ R^2 \pi} [/math] .[br]Diese Änderungsrate entspricht genau der Änderungsrate der Höhe beim Befüllen eines Zylinders mit dem Radius R.[br]Dies sieht man, weil aus dem Volumen eines Zylinders [math]V=R^2\pi h=c\cdot t[/math] die Änderungsrate mit [math]R^2\pi\cdot h'=c[/math] als [math]h'=\frac{c}{R^2\pi}[/math] folgt.