[size=100] Se da la matriz:[/size][size=100][br][size=85][br][math] \LARGE A=\begin{pmatrix} -1 & 0 & 1 \\[br]0 & m & 0 \\[br]2 & 1 & m^2-1[br]\end{pmatrix}[/math][br][br][/size][/size]donde m es un parámetro real: [br][br][size=150]a) Obtener razonadamente el rango o característica de la matriz [math]\Large A[/math] en función de los valores de [math]\Large m[/math] [br](5 puntos)[br]b) Explicar por qué es invertible la matriz [math]\Large A[/math] cuando [math] \Large m=1 [/math] . (2 puntos)[br]c) Obtener razonadamente la matriz inversa cuando [math]\Large m=1[/math] , indicando los distintos[br]pasos para la obtención de [math]\Large A^{-1}[/math] . Comprobar que los productos [math]\Large A \cdot A^{-1}[/math] [br] y [math]\Large A^{-1} \cdot A [/math] dan la matriz unidad. (3 puntos)[/size]
[code][/code]Al resolver el determinante deberías haber obtenido un polinomio en [math] \Large m[/math][br]Según el valor que tome [math] \Large m [/math] el determinante puede ser igual a cero o distinto de cero. Cuando sea distinto de cero el rango de la matriz [math] \Large A[/math] será 3. [br]Resuelve la ecuación [math] \Large |A|=0[/math] para encontrar esos valores. ¿Cuántas soluciones tiene la ecuación? [br]
¿Cuáles son las soluciones?
Contesta al apartado B en el espacio destinado a ello: [br]b) Explicar por qué es invertible la matriz [math]\Large A[/math] cuando [math] \Large m=1 [/math] . (2 puntos)
[size=100][/size]Cuando [math] \Large m=1[/math] la matriz [math] \Large A [/math] queda de esta forma:[br][br][br][math] \LARGE A=\begin{pmatrix} -1 & 0 & 1 \\[br]0 & 1 & 0 \\[br]2 & 1 & 0[br]\end{pmatrix}[/math][br][br]Nos piden calcular la matriz inversa, que como hemos estudiado se calcula así: [br][math] \LARGE {A^{-1}=\frac{ 1 }{ |A| }\cdot \big(Adj(A)\big)^T}[/math]
[size=150]Como sabes, la matriz adjunta de la traspuesta y la traspuesta de la adjunta son la misma matriz. Dado que el orden no importa te proponemos calcular primero la matriz adjunta de [math] \Large A [/math]: [/size]
[size=150]Ya sólo queda rematar la faena. Nos falta el último paso para tener la matriz inversa. Calcúlala y comprueba tu respuesta. [/size]
[size=150][/size]Ya sólo nos qureda comprobar que los productos [math]\Large A \cdot A^{-1}[/math] y [math]\Large A^{-1} \cdot A [/math] dan la matriz unidad. Haz la comprobación en papel.