Un trinomio di secondo grado si può scomporre nel seguente modo:[center][math]\Large\bf ax^2+bx+c=a\cdot\left(x-x_1\right)\cdot\left(x-x_2\right)[/math][/center]dove [math]\large\bf x_1[/math] e [math]\large\bf x_2[/math] sono le soluzioni dell'equazione di secondo grado [math]\large\bf ax^2+bx+c=0[/math].

Dati [math]\large\bf x_1[/math] e [math]\large\bf x_2[/math] si svolge il seguente prodotto:[br][math]\left(x-x_1\right)\cdot\left(x-x_2\right)=x^2-x_1\cdot x-x_2\cdot x+x_1\cdot x_2=\large\bf x^2-\left(x_1+x_2\right)\cdot x+x_1\cdot x_2[/math][br]Ma il [b]secondo[/b] ed il [b]terzo[/b] termine contengono rispettivamente la [b]somma[/b] e il [b]prodotto[/b] delle soluzioni, ovvero:[br][math]x^2-\left(x_1+x_2\right)\cdot x+x_1\cdot x_2=x^2-\left(-\frac{b}{a}\right)\cdot x+\frac{c}{a}[/math][br]cioè riassumendo si ha che:[br][math]\large \left(x-x_1\right)\cdot\left(x-x_2\right)=x^2+\frac{b}{a}\cdot x+\frac{c}{a}[/math][br]Se si moltiplicano entrambi i membri per [b]a[/b] si ottiene:[br][math]a\cdot\left[\left(x-x_1\right)\cdot\left(x-x_2\right)\right]=a\cdot\left[x^2+\frac{b}{a}\cdot x+\frac{c}{a}\right]\ \longrightarrow\ a\left(x-x_1\right)\cdot\left(x-x_2\right)=ax^2+\cancel{a}\frac{b}{\cancel{a}}\cdot x+\cancel{a}\frac{c}{\cancel{a}}\longrightarrow\large\bf\ a\cdot\left(x-x_1\right)\cdot\left(x-x_2\right)=ax^2+bx+c[/math]

Scomporre il seguente trinomio di secondo grado:[br][math]\large 3x^2-2x-5[/math][br]Si risolve l'equazione di secondo grado:[br][math]3x^2-2x-5=0\ \longrightarrow\ x_{1,2}=\frac{2\pm\sqrt{4+60}}{6}=\frac{2\pm8}{6}=\begin{matrix}\nearrow&\frac{2-8}{6}=-1\\[br]\searrow&\frac{2+8}{6}=\frac{5}{3}\end{matrix}[/math][br]Pertanto la scomposizione è la seguente:[br][math]\large 3x^2-2x-5=3\cdot\left(x-\frac{5}{3}\right)\left(x-\left(-1\right)\right)=\left(3x-5\right)\cdot\left(x+1\right)[/math]