Ora sappiamo che ogni volta che un [i]valore iniziale[/i] cresce o decresce di un [i]fattore costante[/i] o di una percentuale fissa negli stessi intervalli di tempo, possiamo utilizzare un modello esponenziale.[br][br]Il fattore o la percentuale si dice anche [i][b]crescita relativa[/b][/i]: spesso nei modelli di vita reale, tale quantità è espressa con una [i]percentuale[/i]. [br]Ad esempio, se leggiamo che una popolazione di granchi cresce dell'1.2% ogni anno, ciò significa che per ogni 1000 granchi di quella popolazione, altri [math]1000\cdot\frac{1.2}{100}=1000\cdot0.012=12[/math] granchi si aggiungeranno alla popolazione ogni anno.

Possiamo ulteriormente migliorare il modello generale della crescita esponenziale, [math]f\left(x\right)=ab^x[/math] utilizzando una forma equivalente che mostra visivamente le caratteristiche principali del modello, e precisamente:[br][br][center][math]f\left(x\right)=k\left(1+r\right)^x[/math][/center]dove:[br][list][*][math]k[/math] è il valore iniziale[br][/*][*][math]r[/math] è il tasso di crescita relativa (percentuale di crescita), espresso come numero decimale positivo.[/*][/list][br]Un esempio tipico è il modello di crescita di una popolazione in funzione del tempo, che generalmente si definisce con una equazione del tipo [math]P\left(t\right)=P_0\left(1+r\right)^t[/math], dove:[list][*][math]P_0[/math] è la popolazione iniziale[br][/*][*][math]r[/math] è il tasso di crescita relativa (percentuale di crescita), espresso come numero decimale positivo[/*][*][math]t[/math] è l'unità di tempo[br][/*][/list]

Utilizza l'app di seguito per familiarizzare con la crescita esponenziale.[br]Inserisci le risposte, premi [i]Invio [/i]dopo ogni inserimento, quindi [i]Verifica[/i] se le risposte sono corrette. [br]Se entrambe saranno corrette, un pulsante ti consentirà di creare un nuovo esercizio ed esplorare un nuovo modello. Potrai inoltre visualizzare la [i]Soluzione[/i] dell'esercizio.

Se vuoi creare un modello matematico di un decadimento esponenziale, l'equazione sarà del tipo:[br][br][center][math]f\left(x\right)=k\left(1-r\right)^x[/math][/center][br]Quindi una popolazione che decresce esponenzialmente nel tempo potrà essere modellata da una funzione del tipo [math]P\left(t\right)=P_0\left(1-r\right)^t[/math] in cui tutte le variabili sono definite esattamente come nel caso della crescita esponenziale.

Utilizza l'app di seguito per familiarizzare con il decadimento (decrescita) esponenziale.[br]Inserisci le risposte, premi [i]Invio [/i]dopo ogni inserimento quindi [i]Verifica[/i] se le risposte sono corrette. [br]Se entrambe saranno corrette, un pulsante ti consentirà di creare un nuovo esercizio ed esplorare un nuovo modello. Potrai inoltre visualizzare la [i]Soluzione[/i] dell'esercizio.