Mit Hilfe dieser Seite untersuchen wir die verschiedenen Lagebeziehungen zweier Geraden im Raum. Dabei gibt es mehrere Möglichkeiten, wie die Geraden zueinander liegen können.[br]-------------------------------------------------------------------------------------------------------
a) Wie liegen die beiden Geraden zueinander?[br][br]b) Es gibt hier einen Sonderfall (das ist Möglichkeit 2). Finde ihn.[br][br]c) Welche Bedingung benötigt der Sonderfall? Wie müssen Stütz- und Richtungsvektoren aussehen?
a) Die Geraden schneiden sich.[br][br]b) Die Geraden können auch identisch sein.[br][br]c) Stützvektor beliebig, solange der Stützpunkt auf beiden Geraden liegt. Die Richtungsvektoren müssen kollinear sein.
a) In welcher Beziehung stehen die beiden Geraden zueinander?[br][br]b) Unter welcher Bedingung (Stütz- und Richtungsvektoren) kommt diese Beziehung zustande? [br][br]c) Welcher Sonderfall kann hier theoretisch auch eintreten? Unter welcher Bedingung (Stütz- und Richtungsvektoren)?[br][br]d) (Zusatz) Kleine GeoGebra-Interface-Übung: Schafft ihr es, den Sonderfall einzustellen?[br]
a) Die Geraden sind parallel.[br][br]b) Der Stützvektor kann beliebig gewählt werden, die Richtungsvektoren müssen kollinear sein.[br][br]c) Auch diese beiden Geraden können identisch sein. Dafür muss zusätzlich der Stützpunkt auf beiden Geraden liegen.[br][br]d) Über den "Play"-Knopf und die Verlangsamung s1 auf 0.99 stellen.
a) Bewege die Ansicht, sodass du die Geraden aus verschiedenen Blickwinkeln betrachten kannst.[br][br]b) Wie unterscheidet sich diese Lage von den vorherigen?[br][br]c) Unter welchen Bedingungen entsteht diese Lagebeziehung?[br][br]d) Ist diese Lagebeziehung auch im 2-dimensionalen möglich? Begründe deine Antwort.
b) Die Geraden haben weder einen Schnittpunkt, noch sind sie parallel.[br][br]c) Die Richtungsvektoren dürfen nicht kollinear sein, beide Geraden haben keinen gemeinsamen Punkt (insbesondere auch keinen gemeinsamen Stützpunkt).[br][br]d) Die Lagebeziehung ist im 2-dimensionalen nicht möglich, da nicht parallele Geraden im 2-dimensionalen immer einen Schnittpunkt besitzen.
Welcher Lagebeziehung entspricht Möglichkeit 1?
Welcher Lagebeziehung entspricht Möglichkeit 1?
Welcher Lagebeziehung entspricht Möglichkeit 2?
Welcher Lagebeziehung entspricht Möglichkeit 3?
Welcher Lagebeziehung entspricht Möglichkeit 4?
1. Überprüfe zuerst, ob die Richtungsvektoren kollinear sind[br][br](Wie geht das nochmal? zwei Vektoren [math]\binom{a}{b}[/math] und [math]\binom{c}{d}[/math] sind kollinear, wenn ihre Komponenten komponentweise[br][list][*]gleich Null sind (z.B. a=c=0) ODER[/*][*]die Verhältnisse der Komponenten gleich sind a:c = b:c )[/*][/list][br]Daraus ergeben sich [b][color=#0000ff]zwei Alternativen[/color][/b][br][br][table][tr][td]Richtungsvektoren sind [b]nicht kollinear:[/b][/td][td][/td][td]Richtungsvektoren sind [b]kollinear[/b]:[/td][/tr][tr][td]In der Ebene: Geraden müssen sich [b]schneiden[/b][br]Im Raum: Geraden schneiden sich [br]ODER [br]sind [b]windschief[/b] [br][br][/td][td][/td][td]Geraden sind [b]parallel[/b][br]ODER[br]Geraden sind [b]identisch[/b][/td][/tr][/table][br][br]2. Um die Lagebeziehung eindeutig zu klären, muss eine Probe durchgeführt werden:[br]Setze die Parameterformen gleich und bestimme die Lösungsmenge[br]r_1: [math]\binom{x}{y}=\binom{a}{b}+t\binom{v_x}{v_y}[/math] Spurparameter t[br]r_2: [math]\binom{x}{y}=\binom{c}{d}+s\binom{w_x}{w_y}[/math] Spurparameter s[br]Setze die rechten Seiten gleich und löse nach t und s (Lineares Gleichungssystem)[br][br][math]\left(I\right)a+tv_x=c+sw_x[/math][br][math]\left(II\right)b+tv_y=d+sw_y[/math][br][br]Es ergeben sich [b]zwei Fälle:[/b][br]1) Nicht-kollineare Richtungsvektoren[br][br][table][tr][td]Lösungsmenge eindeutig =>[/td][td]Geraden schneiden sich in einem Punkt[/td][/tr][tr][td]Lösungsmenge ist leer =>[/td][td]Geraden sind windschief[/td][/tr][/table][br]2) kollineare Richtungsvektoren[br][table][tr][td]Lösungsmenge leer =>[/td][td]Geraden sind parallel[/td][/tr][tr][td]Lösungsmenge allgemein (unendlich viele Lösungen) =>[/td][td]Geraden sind identisch[/td][/tr][/table][br]Im Falle kollinearer Richtungsvektoren kann auch verkürzt eine Punktprobe durchgeführt werden (Aufpunkt in die Parameterform einsetzen und prüfen, ob der Aufpunkt auf der anderen Geraden liegt)[br]
1) In welcher Beziehung sind die Geraden r_1: [math]\binom{x}{y}=\binom{1}{2}+t\binom{3}{6}[/math] und r_2[math]\binom{x}{y}=\binom{3}{0}+s\binom{-1}{-2}[/math]
2) Zeige, dass die Geraden r_1: [math]\binom{x}{y}=\binom{2}{3}+t\binom{5}{2}[/math] und r_2: [math]\binom{x}{y}=\binom{4}{0}+s\binom{0}{3}[/math] sich schneiden und bestimme den Schnittpunkt[br]
[table][tr][td][/td][td]Richtungsvektoren sind kollinear[/td][td]Richtungsvektoren sind nicht kollinear[/td][/tr][tr][td]Geraden haben mindestens einen gemeinsamen Punkt[/td][td][code][/code][/td][td][/td][/tr][tr][td]Geraden haben keinen gemeinsamen Punkt[/td][td][/td][td][/td][/tr][/table]