[br]Wykażemy, że promienie padające z góry równolegle do osi Oy po odbiciu od zwierciadła w kształcie paraboli o równaniu [math]y=x^2[/math] przecinają się w jednym punkcie. Punkt ten to tzw. [b]ognisko paraboli[/b].

[u]Ilustracja graficzna[/u]:[br][br]Poniższy aplet przedstawia konstrukcję wykonaną za pomocą narzędzi GeoGebry, m. in. [color=#666666][i][b]Styczne[/b][/i][/color] [icon]/images/ggb/toolbar/mode_tangent.png[/icon], [color=#666666][i][b]Przecięcie[icon]/images/ggb/toolbar/mode_intersect.png[/icon], Proste prostopadłe[icon]/images/ggb/toolbar/mode_orthogonal.png[/icon][/b][/i][/color], [color=#666666][i][b]Symetria osiowa[icon]/images/ggb/toolbar/mode_mirroratline.png[/icon][/b][/i][color=#000000].[/color][/color] Rozwiązanie analityczne znajduje się w drugiej części.[br][br][color=#666666][size=85]Punkt [math]\scriptstyle A[/math] to punkt swobodny (punktowe źródło światła).[/size][/color]

[u]Rozwiązanie[/u]: [br][br]Załóżmy, że prosta zawierająca promień [math]u[/math] opisana jest równaniem [math]x=a[/math]. Wówczas punkt odbicia [math]S[/math] ma współrzędne [math](a,a^2)[/math]. Niech [math]l[/math] oznacza prostą zawierającą promień odbity [math]v[/math] i niech [math]n[/math] oznacza współczynnik kierunkowy tej prostej. Aby wyznaczyć prostą [math]l[/math] konstruujemy najpierw styczną do wykresu [math]f[/math] w punkcie [math]S[/math]. Jej współczynnik kierunkowy jest równy [math]f'(a)[/math]. Następnie tworzymy prostą [math]n_S[/math] prostopadłą do stycznej [math]k_S[/math] [math]-[/math] jej współczynnik kierunkowy jest więc równy [math]-\frac{1}{f'\left(a\right)}[/math]. Korzystając ze wzoru na kąt między prostymi [math]k_S[/math] i [math]l[/math] otrzymujemy: [math]\text{tg}\beta=\left|\frac{f'\left(a\right)-n}{1+f'\left(a\right)n}\right|[/math]. Ponieważ kąt [math]\alpha[/math] jest równy kątowi nachylenia prostej [math]n_S[/math], więc [math]\text{tg}\alpha=-\frac{1}{f'\left(a\right)}[/math]. Korzystając z faktu, iż kąt padania [math]\alpha[/math] jest równy kątowi odbicia [math]\beta[/math] dostajemy równanie[center][br][math]-\frac{1}{f'\left(a\right)}=\left|\frac{f'\left(a\right)-n}{1+f'\left(a\right)n}\right|[/math][br][/center][br]z niewiadomą n. Aby je rozwiązać przyjmujemy [math]A=f'(a)[/math] i korzystamy z definicji modułu. Otrzymujemy dwa równania (wiersz 1 i 3), które rozwiązujemy w poniższym aplecie.

A zatem prosta [math]l[/math] opisana jest równaniem [math]y=\frac{4a^2-1}{4a}\left(x-a\right)+a^2[/math], gdy [math]a\ne0[/math] oraz równaniem [math]x=a[/math], gdy [math]a=0[/math]. Dla [math]x=0[/math] mamy [math]y=\frac{1}{4}[/math], co oznacza, że każda z tych prostych przechodzi przez punkt [math]O=\left(0,\frac{1}{4}\right)[/math] .[br][br][color=#666666][size=85]Wprowadź równanie prostej l i zdefiniuj punkt O.[/size][/color]

Powtórz zadanie dla zwierciadła w kształcie paraboli o równaniu [math]y=\frac{1}{2p}x^2[/math], gdzie [math]p\in\mathbb{R}\setminus\left\{0\right\}[/math].