Seja [math]f:Dom\left(f\right)\subseteq\mathbb{R}^n\rightarrow\mathbb{R}[/math] uma função de classe [math]C_m[/math] em [math]A\left(aberto\right)\subseteq Dom\left(f\right)[/math], para algum [math]m\ge1[/math], e seja [math]X_m=\left(x_{10},x_{20},...,x_{m0}\right)\in A[/math]. Dado [math]X=\left(x_0,x_1,...,x_n\right)\in\mathbb{R}[br]^n[/math],o polinômio [math]P_m:Dom\left(P_m\right)\subseteq\mathbb{R}^n\rightarrow\mathbb{R}[/math] definido como:[br][br] [math]P_m\left(X\right)=f\left(X_0\right)+\sum_{k-1}^m\frac{1}{k!}\left[\left(\left(x-x_{10}\right)\frac{\partial}{\partial x_1}+\left(x-x_{20}\right)\frac{\partial}{\partial x_2}+...+\left(x-x_{n0}\right)\frac{\partial}{\partial x_3}\right)^kf\right]\left(X_0\right),\quad\forall X\in\mathbb{R}^n[/math] [br] [br] [br] [br]é chamado de polinômio de Taylor de ordem[math]m[/math] de[math]f[/math] em [math]X_0[/math].

Seja uma função [br] [math]F:Dom\left(F\right)\subseteq\mathbb{R}^{m+n}\qquad\rightarrow\qquad\mathbb{R}[/math][br] [math]\left(X,Y\right)=\left(x_1,x_2,...,x_n,y_1,y_2,...,y_m\right)\qquad\rightarrow\qquad F\left(X,Y\right)=F\left(x_1,x_2,...,y_1,y_2,...,y_m\right)[/math][br]dizemos que a função [math]g:Dom(g)⊆\mathbb{R}^n\rightarrow\mathbb{R}[/math][sup][/sup] está definida implicitamente na equação [math]F(X,Y)=0[/math], se [math]F(X,g(X))=0[/math], para todo [math]X∈Dom(g)[/math].

[b][size=150]Teorema [/size][/b][br]Seja [math]f:Dom\left(f\right)\subseteq\mathbb{R}^2\rightarrow\mathbb{R}[/math] de classe [math]C_1[/math], [math]\left(x_0,y_0\right)\in A\left(aberto\right)\subseteq Dom\left(f\right)[/math] e [math]f\left(x_0,y_0\right)=0[/math]. Se [math]\frac{\partial f}{\partial y}\left(x_0,y_0\right)\ne0[/math], então existirá os intervalos abertos [math]B\text{\text{ e }}C[/math], com [math]x_0\in B\left(aberto\right)[/math] e [math]y_0\in C\left(aberto\right)[/math], tal que para cada [math]x\in B[/math], teremos um único [math]g\left(x\right)\in C[/math], com [math]f\left(x_0,g\left(x_0\right)\right)=0[/math]. A função [math]g:B\rightarrow C[/math] é diferenciável e [br][br] [math]g'\left(x\right)=\frac{\frac{\partial f}{\partial x}\left(x,g\left(x\right)\right)}{\frac{\partial f}{\partial y}\left(x,g\left(x\right)\right)}[/math][br][br]Utilize o applet abaixo para visualizar melhor o teorema apresentado. Sinta-se livre para manipular o ponto ao longo da superfície e observar o polinômio de Taylor de grau 3 para uma função de uma única variável real.

Trabalharemos a seguir com o polinômio de Taylor de ordem 2 para uma função [math]f:Dom\left(f\right)\subseteq\mathbb{R}^2\rightarrow\mathbb{R}[/math] no ponto [math]\left(x_0,y_0\right)\in Dom\left(f\right)[/math]. Logo o polinômio é definido como:[br][br] [math]P_2\left(x,y\right)=f\left(x,y\right)+\frac{\partial f}{\partial x}\left(x_0,y_0\right)\left(x-x_0\right)+\frac{\partial f}{\partial y}\left(x_0,y_0\right)\left(y-y_0\right)+\frac{1}{2}\left(\frac{\partial^2f}{\partial x^2}\left(x_0,y_0\right)\left(x-x_0\right)^2+2\frac{\partial^2f}{\partial x\partial y}\left(x_0,y_0\right)\left(x-x_0\right)\left(y-y_0\right)+\frac{\partial^2f}{\partial y^2}\left(y-y_0\right)^2\right)[/math]

Seja [math]F:Dom\left(F\right)\subseteq\mathbb{R}^3\rightarrow\mathbb{R}[/math] uma função de classe [math]C_1[/math] em [math]A\left(aberto\right)\subseteq\mathbb{R}^3[/math]. e [math]\left(x_0,y_0,z_0\right)\in A[/math], tal que [math]F\left(x_0,y_0,z_0\right)=0[/math]. Se [math]\frac{\partial F}{\partial z}\left(x_0,y_0,z_0\right)\ne0[/math] então existirá uma bola aberta de centro [math]\left(x_0,y_0\right)[/math] e um intervalo aberto [math]P[/math], com [math]z_0\in P[/math], tais que para cada [math]\left(x_0,y_0\right)[/math] contida nessa bola aberta, existe um único [math]g\left(x_0,y_0\right)\in P[/math], com [math]F\left(x_0,y_0,g\left(x_0,y_0\right)\right)=0[/math]. A função [math]z=g\left(x,y\right)[/math], com [math]\left(x,y\right)[/math] contido na bola aberta, é diferenciável e[br][br][br] [math]\frac{\partial g}{\partial x}\left(x,y\right)=-\frac{\frac{\partial f}{\partial x}\left(x,y,g\left(x,y\right)\right)}{\frac{\partial f}{\partial z}\left(x,y,g\left(x,y\right)\right)}[/math] e [math]\frac{\partial g}{\partial y}\left(x,y\right)=-\frac{\frac{\partial f}{\partial y}\left(x,y,g\left(x,y\right)\right)}{\frac{\partial f}{\partial z}\left(x,y,g\left(x,y\right)\right)}[/math] [br][br]Utilize o applet abaixo para visualizar melhor o teorema apresentado. Sinta-se livre para manipular o ponto ao longo da superfície e observar o polinômio de Taylor de grau 2.