[right][size=50]Diese Seite ist Teil des [b][i][color=#980000]GeoGebra[/color][/i][/b]-Books [url=https://www.geogebra.org/m/kCxvMbHb]Moebiusebene[/url]. ([b][color=#ff7700]September 2019)[br][/color][/b][/size][size=85][size=50][size=50][color=#ff7700][color=#000000]Kapitel: [color=#0000ff]"[url=https://www.geogebra.org/m/kCxvMbHb#chapter/409348][i][b]Spezielle komplexe Funktionen[/b][/i][/url][/color]"[/color][/color][/size][/size][/size][/right][size=100][b][i]Die komplex differenzierbare Funktion [/i][/b][math]z\mapsto w = \mathbf{\ln}(z)[/math][/size][b][i].[/i][/b][br][br]Die reelle Logarithmusfunktion [math]\sigma\mapsto\rho=\mathbf{\ln}(\sigma)[/math] ist die Umkehrfunktion der reellen [i][b]e[/b][/i]-Funktion [math] \rho\mapsto\sigma=\mathbf{\exp}(\rho)[/math]. [br] [math]\mathbf{ \ln}[/math] bildet die positive reelle Halbachse auf die [i]y[/i]-Achse ab. [br][br]Wie verhalten sich die [b][i]komplexen[/i][/b] Funktionen [math]\mathbf{\exp}[/math] und [math] \mathbf{\ln}[/math] zueinander?[br][br][math]w=e^z = e^{x+i\cdot y}=e^x\cdot e^{i\cdot y} = e^x\cdot\left(\mathbf{sin}(y)+i\cdot\mathbf{cos}(y)\right)[/math] [br][list][*]bildet die Parallelen zur [i]x[/i]-Achse auf die konzentrischen Kreise um den Ursprung ab -[br] [math] \mathbf{\exp}[/math] ist in [i]x[/i]-Richtung periodisch[br][/*][*]bildet die Parallelen zur [i]y[/i]-Achse auf die vom Ursprung ausgehenden Halbgeraden ab.[br][/*][/list]Die natürliche komplexe Funktion [math]\mathbf{\ln}[/math] ist auch hierin die Umkehrfunktion. Dies kann man mit den [b][i]Musterkurven[/i][/b] erkunden![br]Siehe auch die Seite zuvor.[br][br]Beweglich sind: die Punkte [color=#980000][i][b]p[sub]1[/sub][/b][/i],[/color] [b][i][color=#980000]p[sub]2[/sub][/color][/i][/b], [b][i][color=#980000]p[sub]3[/sub][/color][/i][/b] einzeln, das [color=#980000][i]Parallelogramm[/i][/color], und der Musterpunkt [b][i][color=#38761d]p[sub]0[/sub][/color][/i][/b].[br]Der Schieberegler [i][b]t[/b][/i][i][sub]m[/sub][/i] begrenzt den Parameterbereich der Bildkurven.