Hinweis: Wenn du den letzten Abschnitt nicht gerade erst bearbeitet hast, solltest du ihn dir nochmal durchsehen, bevor du hier weiterarbeitest. Die nächste Aufgabe knüpft an die letzte Aufgabe an.[br][br]Wie in der letzten Aufgabe gehen wir davon aus, dass ein Porsche Carrera GT von 0 auf 100[math]\frac{km}{h}[/math] konstant beschleunigt und sich der zurückgelegte Weg in Metern bis zu dieser Geschwindigkeit mit der Funktion [math]s\left(t\right)=3.56\cdot t^2[/math] berechnen lässt, wobei die Zeit in Sekunden angegeben wird.[br]Aus der letzten Aufgabe ging hervor, dass die Berechnungen des Weges zu einem Zeitpunkt kritisch zu betrachten sind, wenn die Geschwindigkeit zu diesem Zeitpunkt bereits mehr als [math]100\frac{km}{h}\approx27.77\frac{m}{s}[/math] beträgt. [br]Daraus ergibt sich die Frage, wann die Geschwindigkeit von [math]100\frac{km}{h}\approx27.77\frac{m}{s}[/math] erreicht wurde. Die Änderungsrate zu einem Zeitpunkt nennen wir [b]lokale Änderungsrate[/b] oder auch [b]momentane Änderungsrate[/b].[br][br][b]Aufgabe 3.2.1:[/b][br]Aus der letzten Aufgabe wissen wir, dass die Durchschnittsgeschwindigkeit zwischen der zweiten und vierten Sekunde noch unter [math]100\frac{km}{h}[/math] war, zwischen der vierten und sechsten Sekunde jedoch darüber. Eine erste Vermutung könnte sein, dass das Auto zur vierten Sekunde [math]100\frac{km}{h}[/math] schnell war.[br]a) Berechne die mittlere Änderungsrate zwischen[br][list][*][math]t_0=4s[/math] und [math]t_1=4.1s[/math][/*][*][math]t_0=4s[/math] und [math]t_1=4.01s[/math][/*][*][math]t_0=4s[/math] und [math]t_1=4.001s[/math] [/*][*][math]t_0=4s[/math] und [math]t_1=4.0001s[/math][/*][/list]b) Stelle eine Vermutung auf, welche [b]lokale Änderungsrate[/b] (Momentangeschwindigkeit) zum Zeitpunkt t=4s auf zwei Nachkommastellen gerundet vorliegt. Begründe deine Vermutung in deinem Heft.[br]c) Zum Zeitpunkt t=4s war das Auto offensichtlich bereits mehr als [math]100\frac{km}{h}[/math] schnell. Wie sieht es zum Zeitpunkt t=3.9s aus? Nähere dich der lokalen Änderungsrate zum Zeitpunkt t=3.9s auf die gleiche Weise an wie in Aufgabe a). Schreibe deine Rechnung in dein Heft.[br][br][b]Aufgabe 3.2.2:[/b][br]Im folgenden Applet kannst du die Differenz der x-Werte [math]\Delta x[/math] von [math]P_0[/math] und [math]P_1[/math] verkleinern, indem du q per Schieberegler veränderst. Dabei gilt [math]\Delta x=10^q[/math].[br]a) Setze [math]x_0=4[/math] und beobachte die Sekantensteigung, während du [math]\Delta x[/math] über den Schieberegler von q verkleinerst. Gegen welchen Wert strebt die Sekantensteigung (welchem Wert nähert sich die Sekantensteigung an), wenn [math]\Delta x[/math] gegen 0 geht, d.h. betragsmäßig immer kleiner wird?[br]b) Setze [math]x_0=3.9[/math] und wiederhole das Vorgehen aus a).[br]c) Vergleiche die ermittelten Werte mit deinen Ergebnissen aus Aufgabe 1 und schreibe deine Erkenntnisse in dein Heft.

[b]Aufgabe 3.2.3:[/b][br]Bewege im folgenden Applet [math]P_0[/math] an beliebige Stellen, z.B. wieder auf [math]x_0=3.9[/math] und [math]x_0=4[/math], und zoome jeweils an den Graphen im rechten Fenster, indem du h per Schieberegler verkleinerst, bis der Graph geradlinig erscheint und mit der Tangente übereinstimmt.[br]a) Verkleinere nun [math]\Delta x[/math], indem du q am Schieberegler verkleinerst, und beobachte dabei die Sekante. Schreibe dazu eine Begründung in dein Heft, wieso die Steigung der Tangente an [math]P_0[/math] mithilfe der Sekante durch die Punkte [math]P_0[/math] und [math]P_1[/math] angenähert werden kann, wenn [math]\Delta x=x_1-x_0[/math] sehr klein ist.[br]b) Begründe auch, wieso sich die [b]Steigung[/b] des Graphen ständig ändert, aber am Punkt [math]P_0[/math] genauso groß ist wie die Steigung der Tangente durch den Punkt [math]P_0[/math].

[b][size=150][size=200]Lösungen:[/size][/size][/b]