Stellen Sie sich vor, Sie stellen etwas her, Brötchen, Sonnenbrillen ... . Gehen Sie davon aus, dass Sie alles, was sie produzieren, auch verkaufen können. Im vorhergehenden Kapitel haben wir gelernt, dass man für jede Produktionsmenge [math]x[/math] die Stückkosten [math]k(x)[/math] berechnen kann. In der Abbildung unten sind noch einmal der Funktionsgraph der Kostenfunktion [math]K(x)=x^3-12\cdot x^2+54\cdot x+80[/math] und der Graph der Stückkostenfunktion [math]k(x)[/math] zu sehen.
Die Stückkosten beschreiben, welche Kosten Sie aufbringen müssen, um ein Stück (eine Einheit) Ihres Produktes zu produzieren. Welche Produktionsmenge [math]x[/math] wäre für Ihren Betrieb optimal?
Optimal ist natürlich, wenn die Produktion Ihrer Produkte pro Stück möglichst wenig kostet. Sie suchen sich also die Menge heraus, [b]bei der die Stückkosten am kleinsten[/b] sind. Diese Menge ist das [color=#980000][b]Betriebsoptimum[/b][/color] Ihres Betriebes oder [math]x_{BO}[/math].
Wenn der Betrieb für seine Produkte genau so viel verlangt, dass alle Kosten gedeckt sind, dann kann er zwar keine Geld beiseite legen, aber er kann langfristig überleben. [b]Daher wird der Funktionswert der individuellen Angebotskurve an der Stelle des Betriebsoptimums als [color=#980000]langfristige Preisuntergrenze[/color][/b] [b]bezeichnet[/b].
[list=1][*]Um das Betriebsoptimum zu berechnen (siehe Antwort auf oben stehende Frage), muss also der Extremwert - der Tiefpunkt ihrer Stückkostenfunktion berechnet werden. Das ist die eine Methode das Betriebsoptimum zu bestimmen. Berechnen Sie mit notwendiger und hinreichender Bedingung das Minimum der Stückkostenfunktion.[/*][*]Man kann beweisen, dass das Betriebsoptimum genau die Stelle ist, an der die Grenzkostenfunktion bzw. die individuelle Angebotsfunktion den Funktionsgraphen der Stückkostenfunktion schneidet. Fügen Sie in die Abbildung oben die individuelle Angebotsfunktion ein und überprüfen Sie das. Um mit dieser Information das Betriebsoptimum zu berechnen, muss also die Gleichung [math]K'(x_{BO})=k(x_{BO})[/math] nach [math]x_{BO}[/math] aufgelöst werden.[/*][/list]
[b]Berechnen[/b] Sie mit beiden oben beschriebenen Methoden: Wie lautet für die oben abgebildete Situation das Betriebsoptimum?
[b]Richtige Antwort[/b]: Das Ergebnis ist jeweils [math]x_{BO}=6,85\text{ME}[/math]. [math]\text{ME}[/math] steht dabei für Mengeneinheiten.[br] [br][b]Lösungsweg mit dem CAS (HP-Prime) [/b][br][br]Speichern Sie die Gesamtkostenfunktion [math]K(x)[/math] als [math]gk(x)[/math] ab (der HP-Prime akzeptiert nur kleine Buchstaben als Funktionsnamen, daher ist ein Abspeichern als [math]K(x)[/math] nicht möglich) und speichern Sie die Stückkostenfunktion [math]\frac{gk(x)}{x}[/math] als [math]k(x)[/math] ab. [br][b]Möglichkeit 1[/b]: [b]Das Minimum der Stückkostenfunktion[/b] [math]k(x)[/math]: [br]Berechnen Sie: CAS-Anweisung: [color=#0000ff]solve(k'(x) = 0 , x)[color=#000000] [br]Damit wird die notwendige Bedingung für die Extremstelle von [math]k'(x)[/math] berechnet.[br][b]Möglichkeit 2[/b]: [b]Schnittpunkt der individuellen Angebotsfunktion mit der Stückkostenfunktion[/b]:[br]Berechnen Sie: CAS-Anweisung: [color=#0000ff]solve(gk'(x) = k(x) , x)[/color][/color][/color]
Berechnen sie die Langfristige Preisuntergrenze für das oben stehende Beispiel.
Die Antwort ist: [math]LPUG\approx30,4\text{GE}[/math][br]Wenn Sie die Stückkostenfunktion [math]k(x)[/math] in Ihrem Taschenrechner abgespeichert haben, dann setzen Sie einfach [math]x_{BO}[/math] in [math]k(x)[/math] ein:[br][math]k(6,85)\approx30,4[/math]