Círculos e retângulos de frações
Este livro digital reúne uma sequência didática de atividades manipulativas com círculos e retângulos de frações. Foi criado para apoiar o aprendizado por meio de exploração, comparação e composição de partes, respeitando a sequência didática do material físico utilizado em sala. Ao longo dos caítulos, o aluno poderá movimentar peças, montar o inteiro de diferentes maneiras, observar equivalências, resolver pequenos desafios e compreender frações de forma visual, concreta e significativa. O objetivo é proporcionar uma experiência interativa que aproxima o raciocínio matemático da prática, permintindo que cada estudante cosntrua seu conhecimento de forma ativa, criativa e investigativa.
Table of Contents
- Apresentação
- Material físico
- Recurso digital (Livro no Geogebra)
- Conceito de Fração
- Como surgiram as frações
- Fração como parte de um todo
- Desafios (exercícios)
- Frações no Mathigon: Manipulação e Observação
- Atividade interativa (círculos fracionados)
- Atividade interativa (retângulos fracionados)
- Equivalência de frações
- Frações equivalentes
- Equivalência de frações
- Simplificação de fração
- Comparação e ordenação de frações
- Ordenação de frações
- Casos de ordenação de frações
- Exercícios sobre ordenação de frações
Material físico
[justify] A sequência didática apresentada a seguir foi elaborada para acompanhar o recurso físico “Círculos e Retângulos de Frações”, produzido em MDF por meio de corte a laser. Seu objetivo é orientar o professor no uso pedagógico do material, favorecendo a compreensão conceitual das frações por estudantes do 6º ano do Ensino Fundamental.[br][br] Trata-se de uma proposta simples, direta e centrada na manipulação concreta, permitindo que o aluno desenvolva noções fundamentais como parte-todo, numerador e denominador, equivalência, comparação e ordenação de frações. As etapas foram estruturadas de modo progressivo, começando pela exploração livre e avançando gradualmente para registros simbólicos.[br][br] É importante destacar que esta sequência não apresenta atividades escritas, uma vez que sua finalidade é servir como guia de mediação para o professor durante o uso do material manipulável. As atividades formais, incluindo exercícios, desafios e tarefas de sistematização, encontram-se disponíveis no recurso digital complementar, neste livro em questão.[br][br] O foco desta sequência é, portanto, o desenvolvimento do raciocínio visual e da compreensão conceitual, valorizando a investigação, a comparação entre peças e a construção de significados a partir do manuseio. O material permite que o estudante observe relações entre frações antes de formalizá-las matematicamente, promovendo uma aprendizagem mais significativa e conectada à experiência concreta.[br][br][/justify]
RECURSO DIDÁTICO (1)
Como surgiram as frações
Uma História Lá do Antigo Egito
[justify] Há muito, muito tempo, por volta do ano 3000 a.C., existia no Egito um faraó chamado Sesóstris. Nessa época, a agricultura estava crescendo bastante, e as terras mais férteis ficavam ao longo do Rio Nilo. Todos os anos, entre junho e setembro, acontecia algo muito importante para os agricultores: o Nilo enchia e transbordava, inundando toda a região próxima às margens. Quando a água baixava, deixava o solo cheio de nutrientes, ótimo para plantar.[br][br] Por causa disso, cada pedaço de terra era muito valioso. Então, o faraó decidiu dividir essas terras entre alguns agricultores, só que havia um problema sério: as enchentes derrubavam as cercas usadas para marcar o tamanho de cada terreno. Quando a água ia embora, ninguém sabia mais exatamente onde começava ou terminava o lote de cada pessoa.[br][br] Para resolver isso, Sesóstris mandava funcionários especiais medirem tudo de novo. Esses profissionais ficaram conhecidos como estiradores de cordas, onde usavam cordas com nós (marcas) que serviam como unidade de medida, o trabalho deles era esticá-las e ver quantas vezes aquela unidade cabia no lado do terreno.[br][br] Mas havia um detalhe importante: [b]nem sempre a corda cabia um número inteiro de vezes no comprimento do terreno.[/b] Às vezes, faltava “um pedaço” que não dava exatamente uma unidade inteira, esse tipo de situação acontecia muito, e os egípcios precisavam de uma forma de representar essas medidas que eram menores que a unidade inteira, mas que também não eram zero.[br][br] Foi neste momento que surgiu a necessidade de criar um novo tipo de número: [b]os números fracionários[/b], que hoje chamamos de frações. Eles serviam justamente para representar essas partes menores, quando a unidade de medida não cabia por completo.[br] [br] O sistema de numeração egípcio era escrito em hieróglifos, baseada em potências de 10 e tinha a característica de não ser posicional, ou seja, a ordem em que os símbolos apareciam não alterava o valor representado. A tabela a seguir apresenta os valores e seus respectivos símbolos em hieróglifos, e a seguinte mostra a composição dos números:[/justify]
Símbolos em Hieróglifos
[center]Fonte: Mol (2013, p. 24)[/center][center][/center]
Composição dos Números em Hieróglifos
[center]Fonte: Mol (2013, p. 24)[/center][center][/center]
Como os egípcios escreviam as frações
[justify]Os egípcios tinham um jeito bem diferente de representar frações. Para eles:[br][br][/justify][list][*]As frações sempre eram entendidas como uma parte da unidade, por isso usavam principalmente frações unitárias, aquelas em que o numerador é 1, como [math]\frac{1}{2}[/math],[math]\frac{1}{3}[/math],[math]\frac{1}{4}[/math],...[/*][/list][list][*]Quando precisavam representar frações que não tinham numerador 1, como [math]\frac{2}{3}[/math] ou [math]\frac{3}{4}[/math], eles faziam isso usando a soma de várias frações unitárias.[/*][/list][list][*]Para escrever essas frações, eles colocavam um símbolo oval acima do denominador para indicar que se tratava de “uma parte” da unidade, conforme mostra a imagem a seguir:[br][br][/*][/list]
Representação de Frações Unitárias
[center]Fonte: Ifrah (1997, p. 349)[/center]
Vídeo sobre a história da fração
[justify] Há muito o que dizer sobre o surgimento das frações e sobre como elas foram mudando ao longo do tempo até chegarem à forma que usamos hoje. A história das frações está ligada diretamente às necessidades das pessoas: medir terras, dividir alimentos, construir, organizar espaços, registrar quantidades e resolver problemas do dia a dia. Conforme a humanidade evoluiu, também surgiram novas maneiras de representar partes menores que uma unidade inteira, tornando os cálculos mais precisos e facilitando a compreensão do mundo ao redor.[br][br] As frações nasceram justamente dessa necessidade humana de tornar a vida mais prática, representar quantidades de forma clara e resolver situações que os números inteiros não conseguiam explicar sozinhos. Com o passar dos séculos, diferentes povos observaram, experimentaram e desenvolveram ideias sobre como lidar com essas partes do todo, criando regras e formas de escrita que utilizamos até hoje.[br][br] Agora que você já conheceu um pouco dessa história e viu como as frações surgiram e se transformaram, é hora de explorarmos o que elas realmente representam. Para compreender melhor as frações, vamos estudar seus conceitos fundamentais e como elas aparecem nas situações do nosso cotidiano.[br][/justify][br]
Atividade interativa (círculos fracionados)
Acesse os círculos fracionados criados especialmente para você, na página do Mathigon:[br][br]https://student.amplify.com/join/XUMFPE?lang=pt-BR[br][br]Nessa ferramenta, você pode arrastar, sobrepor e comparar círculos que representam frações, [math]\frac{1}{1}[/math] até [math]\frac{1}{10}[/math]. Observe como cada círculo está dividido em partes iguais e como o tamanho de cada parte muda conforme o denominador aumenta.[br][br]Depois de explorar os círculos fracionados no link acima, pense nas situações abaixo e responda no Geogebra:
Questão 1
Quando o denominador aumenta, o que acontece com o tamanho das partes?
Questão 2
Juntando duas peças de [math]\frac{1}{4}[/math] qual fração você forma?
Questão 3
Quantas peças de [math]\frac{1}{10}[/math] formam metade do círculo?
Questão 4
Quais das combinações forma a mesma quantidade que [math]\frac{1}{2}[/math]? (Há mais de uma resposta correta).
Questão 5
Qual combinação NÃO completa o círculo inteiro?
Questão 6
É possível completar exatamente [math]\frac{7}{10}[/math] usando:
Questão 7
[justify]Clara, Elisa e João foram a uma pizzaria e cada um deles pediu uma pizza. Todas as pizzas tinham o mesmo tamanho. A da Clara veio cortada em 8, a da Elisa em 4 e a do João em 6 pedaços iguais.[/justify]a) Em certo momento, João havia comido 3 fatias e Elisa 2. Qual deles comeu a maior quantidade de pizza?
b) Passado 15 minutos, João comeu ao todo 4 fatias, Elisa 3 e Clara 5. Quem comeu mais?
Frações equivalentes
[justify] No capítulo anterior, exploramos diferentes representações visuais de frações. Ao arrastar as peças no ambiente interativo, percebemos que algumas delas, mesmo sendo divididas em números diferentes de partes, ocupavam exatamente o mesmo espaço. Agora, ao observar a imagem abaixo, podemos retomar essa ideia com mais atenção:[/justify]
[justify] Perceba como a região correspondente [math]\frac{1}{2}[/math] é a mesma área formada pela soma de dois blocos de [math]\frac{1}{4}[/math], de três blocos de [math]\frac{1}{6}[/math], quatro de [math]\frac{1}{8}[/math] e cinco de [math]\frac{1}{10}[/math]. Logo:[br][/justify]
[center][size=150][/size][size=200][/size][size=100][/size][size=200][math]\frac{1}{2}=\frac{2}{4}=\frac{3}{6}=\frac{4}{8}=\frac{5}{10}[/math][/size][/center]
[justify] Note que, se multiplicarmos o numerador e o denominador do [math]\frac{1}{2}[/math] por:[br][/justify][list][*]2, obtemos [math]\frac{2}{4}[/math], ou seja, [math]\frac{1\cdot2}{2\cdot2}=\frac{2}{4}[/math].[/*][/list][br][list][*]3, obtemos [math]\frac{3}{6}[/math], ou seja, [math]\frac{1\cdot3}{2\cdot3}=\frac{3}{6}[/math].[/*][/list][br][list][*]4, obtemos [math]\frac{4}{8}[/math], ou seja, [math]\frac{1\cdot4}{2\cdot4}=\frac{4}{8}[/math].[/*][/list][br][list][*]5, obtemos [math]\frac{5}{10}[/math], ou seja, [math]\frac{1\cdot5}{2\cdot5}=\frac{5}{10}[/math].[/*][/list]
[justify] Da mesma forma a figura que representa [math]\frac{1}{3}[/math] coincide perfeitamente com duas partes de [math]\frac{1}{6}[/math] e três partes de [math]\frac{1}{9}[/math]. Sendo assim:[/justify]
[center][math]\frac{1}{3}=\frac{2}{6}=\frac{3}{9}[/math] [/center]
Note também que, se multiplicarmos o numerador e denominador do [math]\frac{1}{3}[/math] por:[br][br][list][*]2, obtemos [math]\frac{2}{6}[/math], ou seja, [math]\frac{1\cdot2}{3\cdot2}=\frac{2}{6}[/math].[br][br][/*][/list][br][list][*]3, obtemos [math]\frac{3}{9}[/math], ou seja, [math]\frac{1\cdot3}{3\cdot3}=\frac{3}{9}[/math].[/*][/list]
[justify] E algo semelhante acontece com [math]\frac{1}{5}[/math] e os dois blocos de [math]\frac{2}{10}[/math]. Então: [/justify]
[center][math]\frac{1}{5}=\frac{2}{10}[/math][/center]
Questão 1
[justify]Seguindo o mesmo raciocínio para encontrar a fração equivalente [math]\frac{2}{10}[/math], bastou multiplicar o numerador e o denominador da fração [math]\frac{1}{5}[/math] por qual número?[/justify][br]
[justify] Esses exemplos mostram uma ideia essencial: frações podem ter nomes diferentes, mas ainda assim representar a mesma quantidade. Mesmo que o número de partes e o tamanho de cada parte mudem, o valor representado pode permanecer igual. Quando duas frações expressam a mesma porção do todo, dizemos que elas são[b] frações equivalentes. [/b]Geometricamente, as frações possuem o mesmo tamanho.[br][br] E podemos concluir que, para encontrar as frações equivalentes, basta dividir ou multiplicar o numerador e o denominador da fração por um mesmo número diferente de zero.[br][/justify]
Ordenação de frações
[justify] Acesse o link com os retângulos fracionados: https://student.amplify.com/join/2QPQUY [br][br] Separe e alinhe as seguintes frações: [math]\frac{1}{3},\frac{2}{5},\frac{5}{8},\frac{6}{10}[/math] e responda as questões: [/justify]
Questão 1
a) Qual das frações é a maior?
b) Qual das frações é a menor?
c) Organize as frações em ordem crescente usando a notação adequada (>,<,=)
[justify] Depois dessa observação inicial, vamos mostrar como é possível explicar a comparação mesmo quando as figuras não estão desenhadas. Para isso vamos considerar o seguinte exemplo: [/justify]
[justify] Temos as frações [math]\frac{2}{5}[/math] e [math]\frac{4}{6}[/math], pelas barras de frações vemos que [math]\frac{4}{6}[/math] é maior que [math]\frac{2}{5}[/math]. Cada uma delas representa uma parte do todo, mas os "caminhos" usados para dividir esse todo são diferentes: uma fração divide o inteiro em cinco partes, a outra em seis. Então como sabe qual é maior sem desenhar nenhum retângulo, pizza ou barra?[/justify]
[justify] Para comparar frações com denominadores diferentes, existe uma estratégia muito útil: transformá-las em frações equivalentes que tenham o mesmo denominador. Dessa forma, comparamos partes do mesmo tamanho. Vamos fazer isso passo a passo:[br][br] 1. Encontre um denominador comum[br]Para isso usaremos o [i]mmc, [/i]já que buscamos o menor número que seja múltiplo de 5 e de 6:[br][/justify][list][*]Múltiplos de 5: 5, 10, 15, 20, 25, 30,...[/*][*]Múltiplos de 6: 6, 12, 18, 24, 30,...[/*][/list][br] Neste caso o [i]mmc [/i](5,6)= 30.[br][br] 2. Transforme as frações em equivalentes[br]Agora vamos transformar cada fração em uma outra fração equivalente com o denominador 30:[br][br][list][*]Para transformar [math]\frac{2}{5}[/math] em denominador 30:[/*][/list] 5 x 6 =30[br] Então multiplicamos o numerador e o denominador por 6. Assim, [math]\frac{2\cdot6}{5\cdot6}[/math]=[math]\frac{12}{30}[/math][justify][/justify][list][*]Para transformar [math]\frac{4}{6}[/math] em denominador 30:[/*][/list] 6 x 5 =30[br] Então multiplicamos o numerador e o denominador por 6. Assim, [math]\frac{4\cdot5}{6\cdot5}[/math]=[math]\frac{20}{30}[/math] [br][br] 3. Compare os numeradores[br]Agora ficou fácil, como os denominadores são iguais, então comparamos apenas os numeradores:[br]20 é maior que 12, então [math]\frac{20}{30}[/math] > [math]\frac{12}{30}[/math]. Assim, concluímos matematicamente que [math]\frac{4}{6}[/math] > [math]\frac{2}{5}[/math].[br][br][br]
[justify] Depois de encontrar as frações equivalentes usando o [i]mmc [/i]e comparar os numeradores, podemos verificar se o resultado realmente faz sentido observando a representação visual. [br] A imagem a seguir mostra como [math]\frac{2}{5}[/math] e [math]\frac{4}{6}[/math] ficam quando são transformados em frações equivalentes com denominador 30. Assim, é possível perceber que [math]\frac{12}{30}[/math] é menor que [math]\frac{20}{30}[/math], confirmando a comparação feita apenas pelos numeradores.[/justify]
[justify] Depois de analisar o exemplo e observar, na imagem, como cada fração ficou representada com denominador 30, percebemos que comparar frações fica muito mais fácil quando elas são transformadas em valores equivalentes. Assim, conseguimos visualizar qual parte ocupa mais espaço e qual ocupa menos.[br][br] Agora que já entendemos o processo geral, vamos organizar as ideias observando alguns casos particulares de comparação entre frações. Eles nos ajudam a decidir mais rápido qual fração é maior, sem precisar sempre redesenhar ou transformar em equivalentes.[/justify]