[size=150]Questa sezione è tratta e fa riferimento al paragrafo 13 del libro di Castelnuovo.[br][br]Nella sezione precedente abbiamo introdotto i concetti di [i]proiezione[/i] e [i]sezione.[/i] [br][br]Sia la figura [math]F[/math] appartenente al piano [math]\pi[/math] e la si proietti da un centro generico [math]S[/math] sopra un piano [math]\pi'[/math], ottenendo la figura proiezione [math]F'[/math].[br][br]Nella seguente sezione analizzeremo la figura [math]F'[/math] e le sue proprietà, in base alle caratteristiche di [math]F[/math].[/size]

[size=150]È utile in primo luogo fare le seguenti osservazioni:[br][/size][size=150][b][br]OSSERVAZIONE 1:[/b] Ogni punto [math]A[/math] ed ogni retta [math]a[/math] di [math]F[/math] dà per proiezione un punto [math]A'[/math] ed una retta [math]a'[/math] di [math]F'[/math]. [br]Pertanto [color=#0000ff]a ogni elemento di [/color][math]F[/math][color=#0000ff] corrisponde un elemento dello stesso nome in [/color][math]F'[/math][color=#0000ff] e, viceversa, anche la figura [/color][math]F'[/math][color=#0000ff] è proiezione della [/color][math]F[/math][color=#0000ff] da [/color][math]S[/math][color=#0000ff].[/color][/size]

[size=150][b]OSSERVAZIONE 2:[/b] Se gli elementi [math]A[/math][/size] e [math]a[/math] di [math]F[/math] [size=150]si appartengono, si apparterranno pure gli elementi corrispondenti [math]A'[/math] e [math]a'[/math] di [math]F'[/math], e viceversa.[br]Pertanto[color=#0000ff] i caratteri grafici quali allineamento di punti, appartenenza, concorrenza di rette, etc. si trasmettono dall'una all'altra figura.[/color][/size]

[size=150]Dalle quali segue la seguente osservazione.[br][br][b]OSSERVAZIONE 3:[/b] Ogni punto della retta [math]r=\pi\pi'[/math] considerato come punto del piano [math]\pi[/math] (o [math]\pi'[/math]) ha come corrispondente sé stesso nell'altro piano.[br]Quindi ogni retta [math]a[/math] di [math]\pi[/math] ha una proiezione [math]a'[/math] la quale passa per il punto [math]a\pi[/math], e viceversa.[br]Pertanto [color=#0000ff]rette corrispondenti [/color][math]a[/math][color=#0000ff] e [/color][math]a'[/math][color=#0000ff] dei due piani segano [/color][math]r[/math][color=#0000ff] in uno stesso punto.[/color][/size]

[size=150]Siano [math]\pi[/math] e [math]\pi'[/math] due [i]piani propri [/i]e [math]i_{_{_{\infty}}}[/math] una [i]retta impropria[/i] appartenente a [math]\pi[/math] ([color=#6aa84f]o analogamente a [/color][math]\pi'[/math]). Si definisce [i][b]retta limite[/b] [/i]o [i][b]retta di fuga[/b][/i] la retta [math]i'[/math] corrispondente a [math]i_{_{_{\infty}}}[/math] su [math]\pi'[/math] ([color=#6aa84f]o analogamente su [/color][math]\pi[/math])[/size][size=150]. Questa retta è [i][u]generalmente[/u] propria[/i] (è impropria se i piani sono paralleli), [i]parallela ad [math]r[/math][/i] e data dall'intersezione di [math]\pi'[/math] ([color=#6aa84f]o analogamente di [/color][math]\pi[/math]) col piano parallelo a [math]\pi[/math] ([color=#6aa84f]o analogamente a [/color][math]\pi'[/math]) e passante per [math]S[/math].[br][br][b]OSSERVAZIONE:[/b] La retta [math]r[/math] e la retta [math]i'[/math] sono [i]parallele [/i]tra loro perché, per definizione, [math]r[/math] è data dall'intersezione tra il piano [math]\pi'[/math] ed il piano [math]\pi[/math], mentre [math]\text{i'}[/math] dall'intersezione di [math]\pi'[/math] e il piano di ugual giacitura rispetto a [math]\pi[/math]. Sono quindi definite dalle stesse giaciture e, per tanto, appartengono allo stesso fascio improprio di rette.[/size]

[size=150][b]NOTA:[/b] Abbiamo appurato che ogni osservazione vale per piani [math]\pi[/math] e [math]\pi'[/math][i] [u]arbitrari[/u][/i]. Pertanto da ora non riterremo necessario verificare che una osservazione valga sia partendo con figure su [math]\pi[/math], che su [math]\pi'[/math]. Assumeremo quindi la validità del "[i]viceversa[/i]" se dimostrata una delle due implicazioni.[/size]

[size=150][b]OSSERVAZIONE 4: [/b]Data la situazione precedentemente descritta, siano due rette parallele [math]a[/math] e [math]b[/math], appartenenti al piano [math]\pi[/math]. È facile notare che si intersecano in un [i]punto improprio[/i] appartenente alla [i]retta impropria[/i] [math]i_{_{_{\infty}}}[/math].[br]Inoltre [math]a[/math] e [math]b[/math] hanno per corrispondenti due rette [math]a'[/math] e [math]b'[/math] di [math]\pi'[/math], che si segano in un punto [i][u]generalmente[/u] proprio[/i] (è improprio se i piani sono paralleli).[br]Pertanto [color=#0000ff]un fascio improprio di rette di [/color][math]\pi[/math][color=#0000ff] ha dunque per corrispondente un fascio proprio di rette di [/color][math]\pi'[/math][color=#0000ff], il cui centro sta sopra la retta limite[/color].[/size]

[size=150][b]OSSERVAZIONE 5:[/b] Supponendo di avere due coppie di rette parallele [math]a[/math] e [math]c[/math], [math]b[/math] e [math]d[/math], tutte appartenenti al piano [math]\pi[/math] e che soddisfano le condizioni sopra descritte; si osserva che, se ogni retta interseca le due dell'altra coppia, si ottiene il parallelogramma [math]ABCD[/math].[br]Ad esso corrisponde un [i]quadrangolo semplice[/i][color=#ff00ff][b]*[/b][/color] [math]A'B'C'D'[/math] di [math]\pi'[/math], in cui i lati opposti si segano in [/size][size=150]punti [i][u]generalmente[/u] propri[/i]. [br][br][b][color=#ff00ff]* [/color]OSSERVAZIONE:[/b] Il [i]quadrangolo[/i] e il [i]quadrilatero[/i] sono due figure distinte.[br][color=#0000ff]Il [i][b]quadrangolo completo[/b][/i] possiede [u]4 vertici[/u] [/color][math]A[/math][color=#0000ff], [/color][math]B[/math][color=#0000ff], [/color][math]C[/math][color=#0000ff], [/color][math]D[/math][color=#0000ff] e [u]6 lati[/u] [/color][math]AB[/math][color=#0000ff], [/color][math]AC[/math][color=#0000ff], [/color][math]AD[/math][color=#0000ff], [/color][math]BC[/math][color=#0000ff], [/color][math]BD[/math][color=#0000ff], [/color][math]CD[/math][color=#0000ff]. Due lati non avente vertice in comune si dicono [i]opposti[/i]; il punto in cui si segano si dice [i]punto diagonale[/i]. Si hanno quindi [u]3 lati opposti e 3 punti diagonale[/u][/color].[br][color=#0000ff]Il [i][b]quadrilatero completo[/b][/i] invece possiede [u]4 lati[/u] [/color][math]a[/math][color=#0000ff], [/color][math]b[/math][color=#0000ff], [/color][math]c[/math][color=#0000ff], [/color][math]d[/math][color=#0000ff] e [u]6 vertici[/u] [/color][math]ab[/math][color=#0000ff], [/color][math]ac[/math][color=#0000ff], [/color][math]ad[/math][color=#0000ff], [/color][math]bc[/math][color=#0000ff], [/color][math]bd[/math][color=#0000ff], [/color][math]cd[/math][color=#0000ff], i quali si raggruppano in [u]3 coppie di vertici opposti[/u][/color].[br][/size][size=150][color=#0000ff]Il [b][i]quadrangolo semplice[/i][/b] è una figura che possiede [/color][math]n[/math][color=#0000ff] vertici e [/color][math]n[/math][color=#0000ff] lati. Il [b][i]quadrilatero semplice[/i][/b] è una figura che non differisce dal quadrangolo semplice[/color][/size].