Calculo Diferencial
En este apartado podrás encontrar materiales realizados para la compresión de algunos de los temas de la asignatura Calculo Diferencial, cualquier comentario es bien recibido para mejorar
Table of Contents
- Funciones
- Introduccion
- Transformaciones Rígidas, no rígidas y reflexiones.
- Area del triangulo inscrito
- Composición de funciones
- Transformaciones rígidas
- Limites
- Introducción
- Limites
- Calculo de limites
- Calculadora de limites.
- Limites Infinitos
- Limites y racionalizacion
- Derivada de funciones algebraicas y trascendentes
- Introduccion
- Derivadas de funciones exponenciales y logarítmicas
- Interpretación geométrica de la Derivada
- Derivada de funciones algebraicas
- Derivadas de funciones trascendentes
- Derivadas de Orden Superior
- Aplicaciones de las derivadas
- Introducción
- APLICACIONES DE LAS DERIVADAS
- DERIVADA EN UN PUNTO
- Aplicación de la primera derivada.
- SEGUNDA DERIVADA Y CURVATURA DE UNA FUNCIÓN
Introduccion
Definición de Función
Una función es una regla de asociación que relaciona dos o mas conjuntos entre si; generalmente cuando tenemos la asociación dos conjuntos las función se define como una regla de asociación entre un conjunto llamado dominio con uno llamado codominio, también dominio e imagen respectivamente o dominio y rango. Esta regla de asociación no permite relacionar un mismo elemento del dominio con dos elementos del codominio.
Formas de representacion
La función se puede representar de tres formas:[br]a) Expresión algebraica[br]b) Tabla[br]c) Gráfica
Dominio y Co dominio
Se dice que el dominio de una función son todos los valores que puede tomar el conjunto del dominio y que encuentra correspondencia en el conjunto llamado codominio, generalmente cuando se habla del plano, el dominio es el intervalo de valores que están sobre el eje de las X´s y que nos generan una asociación en el eje de las Y´s.[br][br]El otro conjunto que interviene en la definición es el conjunto llamado codominio o rango de la función, en ocasiones llamado imagen, este conjunto es la gama de valores que puede tomar la función; en el caso del plano son todos los valores que puede tomar la función o valores en el eje de las Y´s.[br][br]También, cuando se grafica en el plano cartesiano se tiene una relación de dos variables, considerando como variable aquella literal que esta sujeta a los valores que puede tomar la otra.[br][br][img]https://www.matesfacil.com/ESO/dominio/dom0-1.png[/img][br][br]En el ejemplo, el dominio es [br][br][img]https://www.matesfacil.com/ESO/dominio/dom0-2.png[/img][br][br]El codominio es[br][br][img]https://www.matesfacil.com/ESO/dominio/dom0-3.png[/img][br][br]Y la exprsión de la función es [br][br][img]https://www.matesfacil.com/ESO/dominio/dom0-4.png[/img][br][br]ya que lo que hace la función es multiplicar por dos cada número del dominio.[br][br]Podemos observar cómo a cada elemento del dominio le corresponde un único elemento del codominio.[br][br][br]
Tipos de variables
[i]Variables dependientes. [/i]Son aquellas variables que como su nombre lo indica, dependen del valor que toma las otras variables Por ejemplo: «f(x) = x», «y o f(x)» es la variable dependiente ya que esta sujeta a los valores que se le subministre a «x».[br][br][i]Variable independiente. [/i]Es aquella variable que no depende de ninguna otra variable, en el ejemplo anterior la «x» es la variable independiente ya que la y es la que depende de los valores de «x».[br][br][i]Variable constante.[/i] Es aquella que no esta en función de ninguna variable y siempre tiene el mismo valor ejemplo: “y=2”, la constante gravitacional, entre otras.[br][br][img]https://matemovil.com/wp-content/uploads/2018/06/variable-dependiente-e-independiente.jpg[/img]
Función de una variable
Cuando el valor de una variable “Y”[br](función) depende de una sola variable “X”, tenemos una función de una[br]sola variable independiente.[br]
Función de varias variables
Cuando el valor de una variable “Y”[br]depende de los valores de 2 ó más variables independientes.
Funciones Algebraicas
Son aquellas funciones cuyo valor puede[br]ser obtenido mediante un número finito de operaciones algebraicas (suma,[br]resta, multiplicación, división, elevación de potencias y la extracción de[br]raíces).Las funciones algebraicas se clasifican en:
Función racional
Es aquella cuyas variables no contienen[br]exponentes fraccionales ni se encuentran bajo signo de radical y se[br]expresa como el cociente de 2 funciones polinomiales.
Función irracional
Es aquella en la cual alguna de las[br]variables tienen exponentes fraccionarios o se encuentran bajo signo[br]radical.
Función entera
Es aquella que no tiene ninguna variable en el[br]denominador y no está afectada por exponentes negativos.
Función Polinomial
Son aquellas funciones que tienen la forma[br][img]https://www.geogebra.org/resource/y8cevebz/jwh5fkr7yIqKmlhR/material-y8cevebz.png[/img][br]Donde n es un número entero positivo y [br][img]https://www.geogebra.org/resource/tzmppx9x/3WoqXZJwNFUBXMpl/material-tzmppx9x.png[/img][br]son números reales diferentes de cero
Funciones trascendentes
Se consideran como funciones[br]trascendentes a las exponenciales, logarítmicas, trigonométricas y[br]trigonométricas inversas[br]
Funciones explicitas e implícitas
Sí están indicadas las[br]operaciones que hay que realizar con la variable o variables independientes[br]para obtener la función, se llama explícita. En caso contrario es función[br]implícita. Una función explícita se puede escribir en forma implícita y hay[br]funciones implícitas que pueden expresarse en función explícita.
Introducción
Definición de limite
La expresión [b]límite de una función[/b] se utiliza en el cálculo diferencial matemático y refiere a la cercanía entre un [url=https://definicion.de/valor/][b]valor[/b][/url] y un [url=https://definicion.de/punto][b]punto[/b][/url]. Por ejemplo: si una función [b]f[/b] tiene un límite [b]X[/b] en un punto [b]t[/b], quiere decir que el valor de [b]f[/b] puede ser todo lo cercano a [b]X[/b] que se desee, con puntos suficientemente cercanos a [b]t[/b], pero distintos.[br][img]https://www.geogebra.org/resource/zdw4vzfg/LrRvnDMRopKu4Ffl/material-zdw4vzfg.png[/img]
Siempre que "x" se aproxime a "a", sin llegar a alcanzar nunca este valor, f(x) se aproxima a "A".[br]
Propiedades de los Límites
[br][list][*]Si dos funciones f(x) y g(x) toman valores iguales en un entorno reducido de un punto de acumulación x=a y una de ellas tiene límite l en ese punto, la otra también tiene límite l en a.[/*][/list][list][*]Si una función tiene límite en un punto, ese límite es único. Una función no puede tener dos límites distintos en un punto.[/*][/list][list][*]Si una función tiene límite l en un punto, en un entorno reducido del mismo, la función toma valores menores que cualquier número mayor que el límite y mayores que cualquier número menor que el límite. Esta propiedad contiene dos subpuntos, los cuales son: [/*][/list][list=1][*]Si una función tiene en un punto un límite distinto de cero, en un entorno reducido del punto,la función determina valores del mismo signo que su límite.[/*][*]Toda función que tiene límite finito en un punto, está acotada en un entorno reducido del mismo.[/*][/list][list][*]Si en un entorno reducido de un punto, los valores que determina la función están comprendidos entre los de otras dos funciones que tienen el mismo límite en ese punto, ella también tiene ese mismo límite en el punto.[/*][*][/*][/list]
[img]https://www.geogebra.org/resource/zxeyqduq/xgBAqsyOpvHnONBE/material-zxeyqduq.png[/img]
Introduccion
Definición de derivada
La derivada es el resultado de un límite y representa la pendiente de la recta[br]tangente a la gráfica de la función en un punto. Pero vayamos por partes.[br]La definición de derivada es la siguiente:
Calculo
Formas de la derivación
[img]https://www.geogebra.org/resource/u3ykkfje/pbCyElmTWlM8q9ev/material-u3ykkfje.png[/img]
Introducción
Aplicaciones de la derivada
Mediante el uso de la derivada podemos conocer:[br][list][*]La variación del espacio en función del tiempo.[/*][*]El crecimiento de una bacteria en función del tiempo.[/*][*]El desgaste de un neumático en función del tiempo.[/*][*]El beneficio de una empresa en función del tiempo. [/*][/list]Es por eso que el uso de la derivada resulta fundamental en nuestro diario vivir [br]En matemáticas las derivadas se utilizan para estudiar el comportamiento de las funciones, hallar los intervalos de crecimiento, de decrecimiento, los máximos y mínimos relativos y absolutos, los intervalos de concavidad y convexidad, los puntos de inflexión...[br][br]También se hace uso de las derivadas para resolver problemas de optimización (conseguir el valor óptimo de una función sujeta o no a ciertas condiciones)[br]
Aplicación en Geometría
[list][*]La derivada de la superficie o área es la longitud.[/*][/list][list][*]La derivada del volumen es la superficie.[br][/*][*][/*][/list]
Aplicación en Física
CINEMÁTICA[br][list][*]La [b]velocidad [/b]instantánea es la derivada del [b]espacio [/b]respecto del tiempo.[/*][/list]
DINÁMICA[br][list][*]La derivada del [b]momento lineal[/b] con el tiempo es la [b]fuerza[/b].[/*][/list][list][*]La derivada de la [b]fuerza [/b]con respecto a la posición es la [b]energía [/b](potencial, cinética, trabajo...)[/*][/list]
Ejercicio:[br]“[i]de un cartón rectangular de 27cm por[br]36cm, se debe cortar en cada esquina un cuadrado, de modo que del cartón[br]resultante doblado convenientemente, se pueda construir una caja sin tapa. Determinar[br]la longitud del lado cuadrado de las esquinas para que la capacidad de la caja[br]sea máxima”[/i]