Parábola: Vértice, puntos de corte y orientación
Formalizar ideas
En Geometría la curva que estamos estudiando se conoce como parábola y aparece en distintos contextos. El más conocido sin duda es en Física , donde sirve para describir el lanzamiento de un objeto sobre la superficie terrestre: el tiro parabólico. Este modelo físico relaciona el espacio vertical (Eje y) y el horizontal (Eje x) que recorre un objeto que se ve afectado por la gravedad. Además, la relación cuadrática aparece entre otras magnitudes físicas como la aceleración y el tiempo en un MRUA. En el ejemplo que trabajamos antes, vimos como representar esta relación en una tabla de valores y en una gráfica. Se puede, como imaginan, escribir la relación con una expresión algebraica, que para cada valor de ancho (x) de exposición nos de el área interior (y). Sabemos que Área= ancho · largo como 160=2·ancho+2·largo podemos escribir que largo=80-ancho como x= ancho e y=Área podemos escribir que y=x·(80-x) la expresión desarrollada quedaría como
Aparece un polinomio de segundo grado, es decir, con la variable elevada al cuadrado. De ahí, que la relación se denomine función cuadrática.
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Si la exposición de paneles fuera de 200m lineales, ¿cuál sería la expresión algebraica para relacionar largo (x) y área interior (y)?
Parábola
Esta curva es una de las cuatro secciones cónicas ya descritas por la cultura griega 200 años a. C. . Además, a día de hoy, es una curva con varias aplicaciones tecnológicas para construir antenas, faros, radiotelescopios o hornos solares. Este es un ejemplo de como un objeto matemático trasciende a lo largo de los siglos con diferentes utilidades. Cuando representamos la curva sobre unos ejes cartesianos, haciendo uso de una expresión algebraica de la forma: se puede observar que hay una relación entre la representación gráfica y los valores de a, b y c .
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Cuando varías el valor de a verás que da la sensación de que la curva se cierra o se abre. No es así, lo que ocurre es que cambiamos la escala de y . Acércate y aléjate y verás que realmente la parábola no cambia de forma, es más, todas las parábolas son semejantes entre sí (pasa lo mismo que con los polígonos regulares).
Lo que si cambia al variar a es la orientación de la parábola,
Cuando se varía el valor de b, el centro de la parábola se desplaza de una forma peculiar
Al variar c, ¿qué puedes observar?
Puntos de corte con el Eje x
Observa la construcción que está debajo. Se han señalado dos puntos sobre el Eje x, con la marca X. La curva "corta" al Eje x en estos puntos, por eso se llaman puntos de corte de la función. Tienen una propiedad, su imagen es 0, por tanto los podemos encontrar resolviendo la ecuación . Ahora encontraremos los puntos observando la gráfica.
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Cuales son los puntos de corte con el Eje x de la parábola
¿Cuáles de las siguientes parábolas tiene de puntos de corte con el Eje x (2,0) y (-3,0)?
Alcanzar el máximo... o el mínimo
Observa la construcción que está debajo. Ya te habrás dado cuenta de que la curva presenta un eje de simetría. Este eje pasa por el vértice de la parábola y es perpendicular al Eje x.
Dependiendo de la orientación de la curva, tendremos que en dicho punto se alcanza un máximo o un mínimo. Siguiendo la curva de izquierda a derecha, podemos decir que:
- Es máximo si las imágenes de la función cuadrática, y, aumentan hasta ese valor de x y luego disminuyen. (Cumbre de la colina)
- Es mínimo si las imágenes de la función cuadrática, y, disminuyen hasta ese valor de x y luego aumentan. (Fondo del valle)
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Describe la representación gráfica de la función cuadrática señala para que valor de x alcanza su máximo.